MahaExam अभ्यास नोट्स

प्रमाण (Proportion) - संकल्पना आणि उदाहरणे | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

प्रमाण (Proportion) - संकल्पना आणि उदाहरणे

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

जेव्हा दोन गुणोत्तरे एकमेकांशी समान असतात, तेव्हा त्या स्थितीला 'प्रमाण' (Proportion) असे म्हणतात. स्पर्धा परीक्षांमध्ये यावर आधारित प्रश्न विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

जर a:b = c:d असेल, तर a, b, c आणि d हे प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. यालाच a/b = c/d असेही लिहिता येते. यात 'a' आणि 'd' यांना 'अत्यंत पदे' (Extremes) आणि 'b' आणि 'c' यांना 'मध्य पदे' (Means) म्हणतात. प्रमाणाचा मुख्य नियम म्हणजे 'मध्य पदांचा गुणाकार = अत्यंत पदांचा गुणाकार' (b × c = a × d).

महत्त्वाच्या संज्ञा

प्रमाण (Proportion)

दोन गुणोत्तरे समान असण्याच्या स्थितीला प्रमाण म्हणतात.

मध्य पदे (Means)

a:b :: c:d मध्ये b आणि c ही मध्य पदे आहेत.

अत्यंत पदे (Extremes)

a:b :: c:d मध्ये a आणि d ही अत्यंत पदे आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • जर a:b :: c:d असेल, तर ad = bc.
  • प्रमाणात चार पदे असतात.
  • जर तीन पदे दिली असतील, तर चौथे पद काढण्यासाठी ad = bc हे सूत्र वापरावे.
  • सतत प्रमाण (Continued Proportion): जर a:b = b:c असेल, तर b हा a आणि c चा 'मध्यप्रमाण' (Mean Proportional) असतो. b² = ac.

महत्त्वाची तथ्ये

  • प्रमाणात पदे नेहमी क्रमाने असावीत.
  • गुणोत्तर आणि प्रमाण हे नेहमी समान एककात असावे.
  • मध्यप्रमाणपद काढताना दोन संख्यांचा गुणाकार करून त्याचे वर्गमूळ काढावे.

उदाहरणे

चौथे प्रमाणपद शोधणे

जर 3:4 :: 9:x असेल, तर x ची किंमत काढा. उत्तर: 3 * x = 4 * 9 => 3x = 36 => x = 12.

मध्यप्रमाणपद शोधणे

4 आणि 16 चे मध्यप्रमाणपद काढा. उत्तर: b² = 4 * 16 = 64, म्हणून b = 8.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

प्रश्न सोडवताना 'मध्य पदांचा गुणाकार = अत्यंत पदांचा गुणाकार' हे सूत्र वापरा.
पर्यायांचा वापर करून पडताळा घ्या.
वेळ वाचवण्यासाठी गुणाकार करण्यापूर्वी भागाकार करा.

⚠️ सामान्य चुका

पदे उलट-सुलट मांडणे.
मध्यप्रमाणपद काढताना वर्गमूळ काढायला विसरणे.
एकके (Units) समान न करता गणित सोडवणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. जर 5:10 :: 8:x असेल, तर x ची किंमत किती?
अ12
ब16
क20
ड24
योग्य उत्तर: ब) 16

स्पष्टीकरण: 5 * x = 10 * 8 => 5x = 80 => x = 16.
2. 4 आणि 9 चे मध्यप्रमाणपद किती?
अ6
ब6.5
क5
ड7
योग्य उत्तर: अ) 6

स्पष्टीकरण: b² = 4 * 9 = 36, म्हणून b = 6.
3. जर a:b = 2:3 आणि b:c = 4:5 असेल, तर a:c किती?
अ8:15
ब2:5
क3:4
ड5:8
योग्य उत्तर: अ) 8:15

स्पष्टीकरण: (a/b) * (b/c) = (2/3) * (4/5) = 8/15.
4. 12, 16 आणि 18 चे चौथे प्रमाणपद काय असेल?
अ20
ब24
क28
ड32
योग्य उत्तर: ब) 24

स्पष्टीकरण: 12/16 = 18/x => 12x = 16 * 18 => x = 24.
5. प्रमाणात 'मध्य पदांचा गुणाकार' कशाच्या बरोबर असतो?
अबेरीज
बवजाबाकी
कअत्यंत पदांचा गुणाकार
डभागाकार
योग्य उत्तर: क) अत्यंत पदांचा गुणाकार

स्पष्टीकरण: प्रमाणाचा मूलभूत नियम: मध्य पदांचा गुणाकार = अत्यंत पदांचा गुणाकार.
6. जर 7:x :: x:28 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ12
ब14
क16
ड18
योग्य उत्तर: ब) 14

स्पष्टीकरण: x² = 7 * 28 = 196, म्हणून x = 14.
7. 0.2, 0.12 आणि 0.3 चे चौथे प्रमाणपद काढा.
अ0.18
ब0.24
क0.36
ड0.48
योग्य उत्तर: अ) 0.18

स्पष्टीकरण: 0.2/0.12 = 0.3/x => 0.2x = 0.036 => x = 0.18.
8. जर 3:5 :: x:20 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ10
ब12
क15
ड18
योग्य उत्तर: ब) 12

स्पष्टीकरण: 3/5 = x/20 => 5x = 60 => x = 12.
9. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 3:4 आहे आणि त्यांची बेरीज 70 आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?
अ20, 50
ब30, 40
क25, 45
ड35, 35
योग्य उत्तर: ब) 30, 40

स्पष्टीकरण: 3x + 4x = 70 => 7x = 70 => x = 10. संख्या 30 आणि 40.
10. जर 2:5 :: 6:x असेल, तर x ची किंमत किती?
अ10
ब12
क15
ड20
योग्य उत्तर: क) 15

स्पष्टीकरण: 2x = 30 => x = 15.
11. 16 आणि 4 चे मध्यप्रमाणपद किती?
अ8
ब10
क12
ड64
योग्य उत्तर: अ) 8

स्पष्टीकरण: b² = 16 * 4 = 64, b = 8.
12. जर a:b = 3:4 आणि b:c = 8:9 असेल, तर a:b:c किती?
अ3:4:9
ब6:8:9
क3:8:9
ड6:4:9
योग्य उत्तर: ब) 6:8:9

स्पष्टीकरण: a:b = 6:8, b:c = 8:9, म्हणून a:b:c = 6:8:9.
13. जर 5:x :: x:125 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ20
ब25
क30
ड35
योग्य उत्तर: ब) 25

स्पष्टीकरण: x² = 5 * 125 = 625, x = 25.
14. खालीलपैकी कोणते प्रमाण बरोबर आहे?
अ2:3 :: 4:5
ब2:3 :: 4:6
क1:2 :: 3:4
ड5:6 :: 10:13
योग्य उत्तर: ब) 2:3 :: 4:6

स्पष्टीकरण: 2/3 = 4/6 (दोन्ही 2/3 आहेत).
15. जर 10:15 :: x:30 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ15
ब20
क25
ड30
योग्य उत्तर: ब) 20

स्पष्टीकरण: 10/15 = x/30 => 15x = 300 => x = 20.
16. 9 आणि 16 चे मध्यप्रमाणपद किती?
अ12
ब13
क14
ड15
योग्य उत्तर: अ) 12

स्पष्टीकरण: b² = 9 * 16 = 144, b = 12.
17. जर 4:x :: x:9 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ5
ब6
क7
ड8
योग्य उत्तर: ब) 6

स्पष्टीकरण: x² = 36, x = 6.
18. एका वर्गात मुले आणि मुली यांचे गुणोत्तर 3:2 आहे. जर एकूण विद्यार्थी 50 असतील, तर मुलींची संख्या किती?
अ10
ब20
क30
ड40
योग्य उत्तर: ब) 20

स्पष्टीकरण: 3x + 2x = 50 => 5x = 50 => x = 10. मुली = 2x = 20.
19. जर 8:x :: x:50 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ15
ब20
क25
ड40
योग्य उत्तर: ब) 20

स्पष्टीकरण: x² = 8 * 50 = 400, x = 20.
20. जर 1:2 :: x:8 असेल, तर x ची किंमत किती?
अ2
ब4
क6
ड8
योग्य उत्तर: ब) 4

स्पष्टीकरण: 1/2 = x/8 => 2x = 8 => x = 4.
विषयातील सर्व नोट्स