MahaExam अभ्यास नोट्स

संभाव्यता: घटना (Events in Probability) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

संभाव्यता: घटना (Events in Probability)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

संभाव्यता (Probability) मध्ये 'घटना' म्हणजे यादृच्छिक प्रयोगाचे (Random Experiment) एक किंवा अधिक परिणाम होय. स्पर्धा परीक्षांमध्ये संभाव्यतेवर आधारित प्रश्न विचारले जातात, ज्यामध्ये घटनांचे प्रकार समजून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.

सविस्तर माहिती

जेव्हा आपण एखादा प्रयोग करतो (उदा. फासा फेकणे किंवा नाणे फेकणे), तेव्हा मिळणाऱ्या निष्कर्षांच्या संचाला 'नमुना अवकाश' (Sample Space - S) म्हणतात. या नमुना अवकाशातील उपसंच म्हणजे 'घटना' (Event - E) होय. घटनेची संभाव्यता P(E) = n(E) / n(S) या सूत्राने काढली जाते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

नमुना अवकाश (Sample Space)

एका यादृच्छिक प्रयोगातील सर्व शक्य निष्कर्षांचा संच.

घटना (Event)

नमुना अवकाशाचा कोणताही उपसंच.

निश्चित घटना (Sure Event)

ज्या घटनेची संभाव्यता १ असते.

अशक्य घटना (Impossible Event)

ज्या घटनेची संभाव्यता ० असते.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • संभाव्यतेची किंमत नेहमी ० ते १ च्या दरम्यान असते (० ≤ P(E) ≤ १).
  • पूरक घटना (Complementary Event): P(A') = 1 - P(A).
  • परस्परावलंबी घटना (Mutually Exclusive): दोन घटना एकाच वेळी घडू शकत नाहीत.
  • नमुना अवकाशातील सर्व प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज १ असते.

महत्त्वाची तथ्ये

  • निश्चित घटनेची संभाव्यता नेहमी १ असते.
  • अशक्य घटनेची संभाव्यता नेहमी ० असते.
  • संभाव्यता कधीही ऋण (Negative) नसते.
  • संभाव्यता कधीही १ पेक्षा जास्त नसते.

उदाहरणे

नाणे फेकणे

एक नाणे फेकले असता नमुना अवकाश S = {H, T} असतो. 'छापा मिळणे' ही एक घटना E = {H} आहे. P(E) = 1/2.

फासा फेकणे

फासा फेकल्यावर S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 'सम संख्या मिळणे' ही घटना E = {2, 4, 6} आहे. P(E) = 3/6 = 1/2.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

प्रश्न वाचताना 'किमान' (At least) आणि 'कमाल' (At most) या शब्दांकडे लक्ष द्या.
नमुना अवकाश (S) अचूक लिहिणे ही यशाची पहिली पायरी आहे.
वेळेची बचत करण्यासाठी लहान प्रयोगांचे नमुना अवकाश तोंडपाठ ठेवा (उदा. दोन फासे फेकणे).

⚠️ सामान्य चुका

नमुना अवकाशातील घटकांची संख्या (n(S)) चुकीची मोजणे.
पूरक घटना काढताना १ मधून वजा करायला विसरणे.
संभाव्यता १ पेक्षा जास्त किंवा ० पेक्षा कमी लिहिणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. एका फाशावर ६ पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ0
ब1
क1/6
ड1/2
योग्य उत्तर: अ) 0

स्पष्टीकरण: फाशावर १ ते ६ अंक असतात, ७ येणे अशक्य आहे, म्हणून संभाव्यता ० आहे.
2. एका नाण्यावर छापा (Head) मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1
ब0
क1/2
ड2
योग्य उत्तर: क) 1/2

स्पष्टीकरण: S={H, T}, n(S)=2, n(E)=1, P(E)=1/2.
3. एका फाशावर सम संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क1/6
ड2/3
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: सम संख्या {2, 4, 6} आहेत, म्हणून 3/6 = 1/2.
4. एका फाशावर मूळ संख्या (Prime Number) मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: मूळ संख्या {2, 3, 5} आहेत, म्हणून 3/6 = 1/2.
5. दोन नाणी फेकली असता, दोन्हीवर छापा मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/4
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: ब) 1/4

स्पष्टीकरण: S={HH, HT, TH, TT}, n(S)=4, n(E)=1, P(E)=1/4.
6. एका पिशवीत ५ लाल आणि ३ निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू काढल्यास तो लाल असण्याची संभाव्यता किती?
अ5/8
ब3/8
क5/3
ड1/8
योग्य उत्तर: अ) 5/8

स्पष्टीकरण: एकूण चेंडू = 8, लाल = 5, P(E) = 5/8.
7. संभाव्यतेची कमाल किंमत किती असते?
अ0
ब0.5
क1
ड100
योग्य उत्तर: क) 1

स्पष्टीकरण: संभाव्यता नेहमी ० ते १ च्या दरम्यान असते.
8. एका फाशावर ४ पेक्षा लहान संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: संख्या {1, 2, 3} आहेत, म्हणून 3/6 = 1/2.
9. एका फाशावर ५ पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब5/6
क1/3
ड2/3
योग्य उत्तर: अ) 1/6

स्पष्टीकरण: संख्या {6} आहे, म्हणून 1/6.
10. दोन नाणी फेकली असता, किमान एक छापा मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/4
ब2/4
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: क) 3/4

स्पष्टीकरण: S={HH, HT, TH, TT}, अनुकूल {HH, HT, TH}, म्हणून 3/4.
11. एका फाशावर ३ चा पटीतील संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/3
ब1/2
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/3

स्पष्टीकरण: संख्या {3, 6} आहेत, म्हणून 2/6 = 1/3.
12. एका फाशावर विषम संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: संख्या {1, 3, 5} आहेत, म्हणून 3/6 = 1/2.
13. एका फाशावर १ पेक्षा लहान संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1
ब0
क1/6
ड1/2
योग्य उत्तर: ब) 0

स्पष्टीकरण: फाशावर १ पेक्षा लहान संख्या नसते, म्हणून ०.
14. एका फाशावर ७ पेक्षा लहान संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ0
ब1/6
क1
ड5/6
योग्य उत्तर: क) 1

स्पष्टीकरण: सर्व संख्या १ ते ६ आहेत, म्हणून ही निश्चित घटना आहे, संभाव्यता १.
15. दोन नाणी फेकली असता, एकही छापा न मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/4
ब1/2
क3/4
ड0
योग्य उत्तर: अ) 1/4

स्पष्टीकरण: केवळ {TT} ही स्थिती आहे, म्हणून 1/4.
16. एका फाशावर २ किंवा ५ मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/3
क1/2
ड2/3
योग्य उत्तर: ब) 1/3

स्पष्टीकरण: संख्या {2, 5} आहेत, म्हणून 2/6 = 1/3.
17. एका फाशावर ४ पेक्षा मोठी सम संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/3
क1/2
ड2/3
योग्य उत्तर: अ) 1/6

स्पष्टीकरण: केवळ {6} ही संख्या आहे, म्हणून 1/6.
18. एका पिशवीत ३ पांढरे आणि ४ काळे चेंडू आहेत. काळा चेंडू काढण्याची संभाव्यता किती?
अ3/7
ब4/7
क1/7
ड3/4
योग्य उत्तर: ब) 4/7

स्पष्टीकरण: एकूण ७, काळे ४, म्हणून 4/7.
19. एका फाशावर १ किंवा ६ मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/3
क1/2
ड2/3
योग्य उत्तर: ब) 1/3

स्पष्टीकरण: संख्या {1, 6} आहेत, म्हणून 2/6 = 1/3.
20. संभाव्यतेच्या नियमानुसार, P(A) + P(A') बरोबर किती?
अ0
ब0.5
क1
ड2
योग्य उत्तर: क) 1

स्पष्टीकरण: घटना आणि तिची पूरक घटना यांची बेरीज नेहमी १ असते.
विषयातील सर्व नोट्स