MahaExam अभ्यास नोट्स

संभाव्यता: नाणे आणि फासे (Probability: Coins and Dice) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

संभाव्यता: नाणे आणि फासे (Probability: Coins and Dice)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

स्पर्धा परीक्षांमध्ये संभाव्यता (Probability) हा एक महत्त्वाचा घटक आहे. यामध्ये प्रामुख्याने नाणे (Coin) आणि फासे (Dice) यांच्यावर आधारित प्रश्न विचारले जातात. या घटकाचा अभ्यास केल्यास परीक्षेत गुण मिळवणे सोपे जाते.

सविस्तर माहिती

संभाव्यता म्हणजे एखादी घटना घडण्याची शक्यता. याचे सूत्र: P(A) = (अपेक्षित निष्पत्तींची संख्या) / (एकूण निष्पत्तींची संख्या). नाणे फेकल्यावर 'छापा' (Head) किंवा 'काटा' (Tail) मिळतो. फासा फेकल्यावर १ ते ६ पर्यंतचे अंक मिळतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

नमुना अवकाश (Sample Space)

एका प्रयोगातील सर्व शक्य निष्पत्तींचा संच.

घटना (Event)

नमुना अवकाशातील विशिष्ट अटी पूर्ण करणारा उपसंच.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • एक नाणे फेकल्यास एकूण निष्पत्ती = 2 (H, T).
  • दोन नाणी फेकल्यास एकूण निष्पत्ती = 2^2 = 4 (HH, HT, TH, TT).
  • एक फासा फेकल्यास एकूण निष्पत्ती = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
  • दोन फासे फेकल्यास एकूण निष्पत्ती = 6^2 = 36.

महत्त्वाची तथ्ये

  • संभाव्यतेची किंमत नेहमी 0 ते 1 च्या दरम्यान असते.
  • निश्चित घटनेची संभाव्यता 1 असते.
  • अशक्य घटनेची संभाव्यता 0 असते.

उदाहरणे

एक फासा फेकणे

एक फासा फेकला असता सम संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती? सम संख्या = {2, 4, 6} म्हणजे 3. एकूण = 6. संभाव्यता = 3/6 = 1/2.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

दोन फासे फेकल्यास एकूण 36 जोड्या लक्षात ठेवा.
प्रश्नातील 'किमान' (at least) आणि 'कमाल' (at most) या शब्दांकडे लक्ष द्या.
वेळ वाचवण्यासाठी सूत्रे तोंडपाठ ठेवा.

⚠️ सामान्य चुका

एकूण निष्पत्ती मोजताना चूक करणे.
सम आणि विषम संख्या ओळखताना गोंधळ होणे.
अपेक्षित निष्पत्तींची संख्या चुकीची मोजणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. एक नाणे एकदा फेकले असता 'छापा' (Head) मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/4
क1
ड0
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: एकूण निष्पत्ती = 2 (H, T). अपेक्षित = 1. म्हणून 1/2.
2. दोन नाणी एकदा फेकली असता दोन्हीवर 'काटा' (Tail) मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/4
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: ब) 1/4

स्पष्टीकरण: एकूण = 4 (HH, HT, TH, TT). अपेक्षित = 1 (TT). म्हणून 1/4.
3. एक फासा फेकला असता '4' पेक्षा मोठा अंक मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: ब) 1/3

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {5, 6} म्हणजे 2. एकूण = 6. 2/6 = 1/3.
4. एक फासा फेकला असता 'सम' संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: सम संख्या = {2, 4, 6} म्हणजे 3. 3/6 = 1/2.
5. दोन फासे एकदा फेकले असता एकूण निष्पत्ती किती मिळतात?
अ6
ब12
क36
ड24
योग्य उत्तर: क) 36

स्पष्टीकरण: 6 * 6 = 36.
6. एक फासा फेकला असता 'मूळ' संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: मूळ संख्या = {2, 3, 5} म्हणजे 3. 3/6 = 1/2.
7. दोन नाणी फेकली असता किमान एक 'छापा' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/4
ब1/2
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: क) 3/4

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {HH, HT, TH} म्हणजे 3. एकूण = 4. 3/4.
8. एक फासा फेकला असता '7' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1
ब1/6
क0
ड6
योग्य उत्तर: क) 0

स्पष्टीकरण: फाशावर 7 नसतो, म्हणून ही अशक्य घटना आहे.
9. दोन फासे फेकले असता अंकांची बेरीज '7' येण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब5/36
क1/36
ड7/36
योग्य उत्तर: अ) 1/6

स्पष्टीकरण: जोड्या: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6. 6/36 = 1/6.
10. एक नाणे तीनदा फेकले असता एकूण निष्पत्ती किती?
अ3
ब6
क8
ड9
योग्य उत्तर: क) 8

स्पष्टीकरण: 2^3 = 8.
11. एक फासा फेकला असता 'विषम' संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/2
ब1/3
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/2

स्पष्टीकरण: विषम = {1, 3, 5} म्हणजे 3. 3/6 = 1/2.
12. दोन नाणी फेकली असता जास्तीत जास्त एक 'काटा' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/4
ब1/2
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: क) 3/4

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {HH, HT, TH} म्हणजे 3. 3/4.
13. एक फासा फेकला असता '3' पेक्षा लहान संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/3
ब1/2
क2/3
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/3

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {1, 2} म्हणजे 2. 2/6 = 1/3.
14. दोन फासे फेकले असता दोन्हीवर समान अंक येण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/36
क6/36
ड1/2
योग्य उत्तर: अ) 1/6

स्पष्टीकरण: जोड्या: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6. 6/36 = 1/6.
15. एक नाणे दोनदा फेकले असता 'एकही छापा न मिळण्याची' संभाव्यता किती?
अ1/4
ब1/2
क3/4
ड0
योग्य उत्तर: अ) 1/4

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {TT} म्हणजे 1. 1/4.
16. एक फासा फेकला असता '2' किंवा '5' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/3
क1/2
ड2/3
योग्य उत्तर: ब) 1/3

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {2, 5} म्हणजे 2. 2/6 = 1/3.
17. दोन फासे फेकले असता अंकांची बेरीज '12' येण्याची संभाव्यता किती?
अ1/36
ब2/36
क3/36
ड1/6
योग्य उत्तर: अ) 1/36

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {(6,6)} म्हणजे 1. 1/36.
18. एक नाणे एकदा फेकले असता 'छापा' किंवा 'काटा' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ0
ब1/2
क1
ड2
योग्य उत्तर: क) 1

स्पष्टीकरण: ही निश्चित घटना आहे, म्हणून 1.
19. दोन नाणी फेकली असता 'दोन छापे' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/4
ब1/2
क3/4
ड1
योग्य उत्तर: अ) 1/4

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {HH} म्हणजे 1. 1/4.
20. एक फासा फेकला असता '4' मिळण्याची संभाव्यता किती?
अ1/6
ब1/3
क1/2
ड4/6
योग्य उत्तर: अ) 1/6

स्पष्टीकरण: अपेक्षित = {4} म्हणजे 1. 1/6.
विषयातील सर्व नोट्स