MahaExam अभ्यास नोट्स
क्रमचय व संचय: मूलभूत मोजणी तत्त्वे | MahaExam
स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न
📖
TCS / IBPS व MPSC पॅटर्न परिपूर्ण नोट्स:
मूलभूत संकल्पना, व्याख्या, ट्रिक्स आणि स्पर्धा परीक्षांमधील महत्त्वाचे सराव बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ).
MahaExam अभ्यास नोट्स
क्रमचय व संचय: मूलभूत मोजणी तत्त्वे
महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स
📖
TCS / IBPS व MPSC पॅटर्न परिपूर्ण नोट्स:
मूलभूत संकल्पना, व्याख्या, ट्रिक्स आणि स्पर्धा परीक्षांमधील महत्त्वाचे सराव बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ).
परिचय
स्पर्धा परीक्षांमध्ये गणित विषयातील 'क्रमचय व संचय' हा घटक अत्यंत महत्त्वाचा आहे. मूलभूत मोजणी तत्त्वे (Fundamental Principles of Counting) हा या प्रकरणाचा पाया आहे, ज्याद्वारे आपण विविध शक्यतांची गणना करू शकतो.
सविस्तर माहिती
मूलभूत मोजणी तत्त्वामध्ये दोन मुख्य नियम आहेत: १) बेरीज तत्त्व (Addition Principle): जर दोन क्रिया एकमेकांना सोडून (mutually exclusive) असतील, तर एकूण मार्ग = m + n. २) गुणाकार तत्त्व (Multiplication Principle): जर एका क्रियेनंतर दुसरी क्रिया घडत असेल, तर एकूण मार्ग = m × n.
महत्त्वाच्या संज्ञा
क्रमचय (Permutation)
वस्तूंची मांडणी करताना त्यांचा क्रम महत्त्वाचा असतो.
संचय (Combination)
वस्तूंची निवड करताना त्यांचा क्रम महत्त्वाचा नसतो.
महत्त्वाचे मुद्दे
- गुणाकार तत्त्व तेव्हा वापरतात जेव्हा 'आणि' (AND) असा संबंध असतो.
- बेरीज तत्त्व तेव्हा वापरतात जेव्हा 'किंवा' (OR) असा संबंध असतो.
- n! (फॅक्टोरियल) म्हणजे n पासून १ पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार.
- 0! चे मूल्य नेहमी 1 असते.
महत्त्वाची तथ्ये
- क्रमचय (Permutation) मध्ये मांडणी (Arrangement) महत्त्वाची असते.
- संचय (Combination) मध्ये निवड (Selection) महत्त्वाची असते.
- nPr = n! / (n-r)!
- nCr = n! / [r! * (n-r)!]
उदाहरणे
गुणाकार तत्त्व
एका व्यक्तीकडे ३ शर्ट आणि २ पँट आहेत, तर तो किती प्रकारे जोडी निवडू शकतो? उत्तर: ३ × २ = ६.
बेरीज तत्त्व
एका वर्गात १० मुले आणि ८ मुली आहेत, तर एका विद्यार्थ्याची निवड किती प्रकारे करता येईल? उत्तर: १० + ८ = १८.
🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स
प्रश्न वाचताना 'आणि' आहे की 'किंवा' हे ओळखा.
मोठ्या संख्यांसाठी फॅक्टोरियलचे गुणधर्म वापरा.
वेळ वाचवण्यासाठी लहान संख्यांसाठी थेट मोजणी करा.
⚠️ सामान्य चुका
गुणाकार करायच्या ठिकाणी बेरीज करणे.
क्रम महत्त्वाचा असताना संचय सूत्र वापरणे.
0! ला 0 समजणे (जे चुकीचे आहे).
📝 सराव प्रश्न
20 बहुपर्यायी प्रश्न
1. एका शहरातून दुसऱ्या शहरात जाण्यासाठी ३ बस आणि २ ट्रेन उपलब्ध आहेत, तर प्रवासाचे एकूण मार्ग किती?
अ5
ब6
क3
ड2
योग्य उत्तर: अ) 5
स्पष्टीकरण: येथे 'किंवा' चा संबंध आहे, म्हणून ३ + २ = ५.
स्पष्टीकरण: येथे 'किंवा' चा संबंध आहे, म्हणून ३ + २ = ५.
2. एका व्यक्तीकडे ४ शर्ट आणि ३ पँट आहेत, तर तो किती प्रकारे कपड्यांची जोडी घालू शकतो?
अ7
ब12
क10
ड6
योग्य उत्तर: ब) 12
स्पष्टीकरण: येथे 'आणि' चा संबंध आहे, म्हणून ४ × ३ = १२.
स्पष्टीकरण: येथे 'आणि' चा संबंध आहे, म्हणून ४ × ३ = १२.
3. 5! चे मूल्य किती आहे?
अ120
ब60
क24
ड100
योग्य उत्तर: अ) 120
स्पष्टीकरण: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
स्पष्टीकरण: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
4. जर एका परीक्षेत ५ प्रश्न असतील आणि प्रत्येक प्रश्नाला २ पर्याय असतील, तर एकूण किती प्रकारे उत्तरे देता येतील?
अ10
ब25
क32
ड20
योग्य उत्तर: क) 32
स्पष्टीकरण: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^5 = 32.
स्पष्टीकरण: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^5 = 32.
5. 3! + 2! चे मूल्य किती?
अ5
ब8
क10
ड6
योग्य उत्तर: ब) 8
स्पष्टीकरण: 3! = 6 आणि 2! = 2. म्हणून 6 + 2 = 8.
स्पष्टीकरण: 3! = 6 आणि 2! = 2. म्हणून 6 + 2 = 8.
6. एका वर्गात १० मुले आणि १२ मुली आहेत, तर एक प्रतिनिधी किती प्रकारे निवडता येईल?
अ120
ब22
क110
ड2
योग्य उत्तर: ब) 22
स्पष्टीकरण: एक प्रतिनिधी निवडायचा आहे, म्हणून १० + १२ = २२.
स्पष्टीकरण: एक प्रतिनिधी निवडायचा आहे, म्हणून १० + १२ = २२.
7. 0! चे मूल्य किती असते?
अ0
ब1
क10
डअपरिभाषित
योग्य उत्तर: ब) 1
स्पष्टीकरण: गणिताच्या नियमानुसार 0! = 1.
स्पष्टीकरण: गणिताच्या नियमानुसार 0! = 1.
8. एका नाण्याला ३ वेळा फेकले असता एकूण किती शक्यता मिळतील?
अ6
ब3
क8
ड9
योग्य उत्तर: क) 8
स्पष्टीकरण: प्रत्येक वेळी २ शक्यता, म्हणून 2 × 2 × 2 = 8.
स्पष्टीकरण: प्रत्येक वेळी २ शक्यता, म्हणून 2 × 2 × 2 = 8.
9. जर एका रांगेत ५ खुर्च्या असतील आणि ३ व्यक्तींना बसायचे असेल, तर किती प्रकारे बसता येईल?
अ15
ब60
क120
ड10
योग्य उत्तर: ब) 60
स्पष्टीकरण: 5 × 4 × 3 = 60.
स्पष्टीकरण: 5 × 4 × 3 = 60.
10. nCr मध्ये r चे मूल्य n पेक्षा जास्त असू शकते का?
अहो
बनाही
ककधीकधी
डसांगता येत नाही
योग्य उत्तर: ब) नाही
स्पष्टीकरण: संचय सूत्रानुसार r हे n पेक्षा लहान किंवा समान असावे लागते.
स्पष्टीकरण: संचय सूत्रानुसार r हे n पेक्षा लहान किंवा समान असावे लागते.
11. एका हॉटेलमध्ये ३ प्रकारचे सूप आणि ४ प्रकारचे मुख्य जेवण आहे, तर जेवणाचे एकूण पर्याय किती?
अ7
ब12
क6
ड10
योग्य उत्तर: ब) 12
स्पष्टीकरण: ३ × ४ = १२.
स्पष्टीकरण: ३ × ४ = १२.
12. 4! / 2! चे मूल्य किती?
अ2
ब12
क6
ड24
योग्य उत्तर: ब) 12
स्पष्टीकरण: 24 / 2 = 12.
स्पष्टीकरण: 24 / 2 = 12.
13. एका पेटीत ५ लाल आणि ४ निळे चेंडू आहेत, तर एक चेंडू किती प्रकारे निवडता येईल?
अ20
ब9
क1
ड5
योग्य उत्तर: ब) 9
स्पष्टीकरण: ५ + ४ = ९.
स्पष्टीकरण: ५ + ४ = ९.
14. क्रमचय (Permutation) मध्ये कशावर भर दिला जातो?
अनिवड
बमांडणी
कबेरीज
डवजाबाकी
योग्य उत्तर: ब) मांडणी
स्पष्टीकरण: क्रमचय म्हणजे मांडणी (Arrangement).
स्पष्टीकरण: क्रमचय म्हणजे मांडणी (Arrangement).
15. संचय (Combination) मध्ये कशावर भर दिला जातो?
अमांडणी
बनिवड
कगुणाकार
डक्रम
योग्य उत्तर: ब) निवड
स्पष्टीकरण: संचय म्हणजे निवड (Selection).
स्पष्टीकरण: संचय म्हणजे निवड (Selection).
16. एका सांकेतिक भाषेत ३ अक्षरी शब्द किती प्रकारे बनवता येतील (अक्षरे पुन्हा न वापरता)?
अ26 × 25 × 24
ब26 × 26 × 26
क26 + 25 + 24
ड3 × 26
योग्य उत्तर: अ) 26 × 25 × 24
स्पष्टीकरण: पहिल्या जागेसाठी २६, दुसऱ्यासाठी २५, तिसऱ्यासाठी २४ पर्याय.
स्पष्टीकरण: पहिल्या जागेसाठी २६, दुसऱ्यासाठी २५, तिसऱ्यासाठी २४ पर्याय.
17. जर एका व्यक्तीकडे ५ टोपी आणि ३ चष्मा असतील, तर तो किती प्रकारे टोपी आणि चष्मा घालू शकतो?
अ8
ब15
क2
ड10
योग्य उत्तर: ब) 15
स्पष्टीकरण: ५ × ३ = १५.
स्पष्टीकरण: ५ × ३ = १५.
18. nPr चे सूत्र काय आहे?
अn! / (n-r)!
बn! / r!
कn! / (n+r)!
डr! / n!
योग्य उत्तर: अ) n! / (n-r)!
स्पष्टीकरण: हे क्रमचय काढण्याचे प्रमाणित सूत्र आहे.
स्पष्टीकरण: हे क्रमचय काढण्याचे प्रमाणित सूत्र आहे.
19. एका परीक्षेत १० प्रश्न आहेत, प्रत्येक प्रश्नाला 'हो' किंवा 'नाही' असे उत्तर द्यायचे आहे, तर एकूण किती प्रकारे उत्तरे देता येतील?
अ20
ब100
क1024
ड512
योग्य उत्तर: क) 1024
स्पष्टीकरण: 2^10 = 1024.
स्पष्टीकरण: 2^10 = 1024.
20. एका रांगेत ३ मुले आणि ३ मुली आहेत, तर एका मुलाची किंवा एका मुलीची निवड किती प्रकारे करता येईल?
अ9
ब6
क3
ड1
योग्य उत्तर: ब) 6
स्पष्टीकरण: ३ + ३ = ६.
स्पष्टीकरण: ३ + ३ = ६.