MahaExam अभ्यास नोट्स

मूळ संख्या (Prime Numbers) - सविस्तर अभ्यास | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

मूळ संख्या (Prime Numbers) - सविस्तर अभ्यास

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

स्पर्धा परीक्षांमध्ये संख्या पद्धती हा अत्यंत महत्त्वाचा घटक आहे. त्यापैकी 'मूळ संख्या' हा पायाभूत विषय असून, त्यावर आधारित प्रश्न पोलीस भरती, तलाठी आणि MPSC सारख्या परीक्षांमध्ये वारंवार विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

ज्या नैसर्गिक संख्येला फक्त १ आणि तीच संख्या असे दोनच विभाजक असतात, त्यांना 'मूळ संख्या' (Prime Numbers) म्हणतात. मूळ संख्यांना इतर कोणत्याही संख्येने पूर्ण भाग जात नाही. याउलट, ज्या संख्यांना दोनपेक्षा जास्त विभाजक असतात, त्यांना 'संयुक्त संख्या' (Composite Numbers) म्हणतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

मूळ संख्या

ज्या संख्येला केवळ १ आणि त्याच संख्येने भाग जातो, तिला मूळ संख्या म्हणतात.

संयुक्त संख्या

ज्या संख्येला १ आणि स्वतः व्यतिरिक्त इतरही संख्यांनी भाग जातो, तिला संयुक्त संख्या म्हणतात.

सह-मूळ संख्या (Co-prime)

ज्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक फक्त १ असतो, त्यांना सह-मूळ संख्या म्हणतात.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • १ ही संख्या मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही.
  • २ ही एकमेव 'सम' मूळ संख्या आहे.
  • १ ते १०० दरम्यान एकूण २५ मूळ संख्या आहेत.
  • मूळ संख्यांचे स्वरूप ६n ± १ असे असू शकते (सर्वच संख्यांसाठी नाही, पण हे एक उपयुक्त सूत्र आहे).

महत्त्वाची तथ्ये

  • १ ते ५० दरम्यान १५ मूळ संख्या आहेत.
  • ५१ ते १०० दरम्यान १० मूळ संख्या आहेत.
  • सर्वात लहान मूळ संख्या २ आहे.
  • १ ते १०० मधील सर्वात मोठी मूळ संख्या ९७ आहे.

उदाहरणे

मूळ संख्या ओळखणे

१३ ही मूळ संख्या आहे कारण १३ ला फक्त १ आणि १३ ने भाग जातो. १५ ही मूळ संख्या नाही कारण १५ ला १, ३, ५ आणि १५ ने भाग जातो.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

१ ते १०० पर्यंतच्या मूळ संख्या तोंडपाठ करा, यामुळे वेळ वाचतो.
कोणतीही संख्या मूळ आहे का हे तपासण्यासाठी त्या संख्येच्या वर्गमुळापेक्षा लहान असलेल्या मूळ संख्यांनी भाग देऊन पहा.
२ आणि ३ या लगतच्या मूळ संख्या आहेत.

⚠️ सामान्य चुका

१ ला मूळ संख्या समजणे (ही सर्वात मोठी चूक आहे).
९, १५, २१, २७ यांसारख्या विषम संख्यांना मूळ संख्या समजणे.
२ ला विषम संख्या समजून वगळणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. सर्वात लहान मूळ संख्या कोणती?
अ१
ब२
क३
ड०
योग्य उत्तर: ब) २

स्पष्टीकरण: २ ही सर्वात लहान आणि एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
2. १ ते ५० दरम्यान एकूण किती मूळ संख्या आहेत?
अ१०
ब१२
क१५
ड२०
योग्य उत्तर: क) १५

स्पष्टीकरण: १ ते ५० दरम्यान एकूण १५ मूळ संख्या आहेत.
3. खालीलपैकी कोणती संख्या मूळ संख्या नाही?
अ२
ब३
क५
ड९
योग्य उत्तर: ड) ९

स्पष्टीकरण: ९ ला १, ३ आणि ९ ने भाग जातो, म्हणून ती संयुक्त संख्या आहे.
4. १ ते १०० दरम्यान एकूण किती मूळ संख्या आहेत?
अ२४
ब२५
क२६
ड२७
योग्य उत्तर: ब) २५

स्पष्टीकरण: १ ते १०० दरम्यान एकूण २५ मूळ संख्या आहेत.
5. खालीलपैकी कोणती जोडी सह-मूळ (Co-prime) आहे?
अ(४, ६)
ब(८, ९)
क(१०, १५)
ड(१२, १८)
योग्य उत्तर: ब) (८, ९)

स्पष्टीकरण: ८ आणि ९ यांचा सामाईक विभाजक फक्त १ आहे.
6. ५० ते १०० दरम्यान किती मूळ संख्या आहेत?
अ८
ब९
क१०
ड११
योग्य उत्तर: क) १०

स्पष्टीकरण: ५० ते १०० दरम्यान १० मूळ संख्या आहेत.
7. १ ही संख्या काय आहे?
अमूळ संख्या
बसंयुक्त संख्या
कमूळही नाही आणि संयुक्तही नाही
डसम संख्या
योग्य उत्तर: क) मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही

स्पष्टीकरण: १ ही संख्या मूळ किंवा संयुक्त या दोन्ही गटात येत नाही.
8. खालीलपैकी कोणती संख्या मूळ संख्या आहे?
अ५१
ब५७
क५९
ड८७
योग्य उत्तर: क) ५९

स्पष्टीकरण: ५९ ला १ आणि ५९ व्यतिरिक्त कशानेही भाग जात नाही.
9. दोन मूळ संख्यांची बेरीज नेहमी काय असते?
अनेहमी मूळ
बनेहमी संयुक्त
कनेहमी सम
डकाहीही असू शकते
योग्य उत्तर: ड) काहीही असू शकते

स्पष्टीकरण: दोन मूळ संख्यांची बेरीज सम किंवा विषम असू शकते (उदा. २+३=५, ३+५=८).
10. सर्वात मोठी दोन अंकी मूळ संख्या कोणती?
अ९१
ब९३
क९७
ड९९
योग्य उत्तर: क) ९७

स्पष्टीकरण: ९७ ही १०० च्या आतील सर्वात मोठी मूळ संख्या आहे.
11. खालीलपैकी कोणती संख्या 'जुळी मूळ संख्या' (Twin Prime) जोडी नाही?
अ(३, ५)
ब(५, ७)
क(११, १३)
ड(१३, १७)
योग्य उत्तर: ड) (१३, १७)

स्पष्टीकरण: ज्या दोन मूळ संख्यांमध्ये २ चा फरक असतो त्यांना जुळ्या मूळ संख्या म्हणतात. १३ आणि १७ मध्ये ४ चा फरक आहे.
12. कोणती सम संख्या मूळ संख्या आहे?
अ४
ब६
क८
ड२
योग्य उत्तर: ड) २

स्पष्टीकरण: २ ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
13. खालीलपैकी कोणती संख्या मूळ संख्या नाही?
अ२३
ब२९
क३१
ड३३
योग्य उत्तर: ड) ३३

स्पष्टीकरण: ३३ ला ३ आणि ११ ने भाग जातो.
14. १ ते २० दरम्यान किती मूळ संख्या आहेत?
अ७
ब८
क९
ड१०
योग्य उत्तर: ब) ८

स्पष्टीकरण: २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९ अशा एकूण ८ संख्या आहेत.
15. मूळ संख्यांचे एकूण किती विभाजक असतात?
अ१
ब२
क३
डअनेक
योग्य उत्तर: ब) २

स्पष्टीकरण: मूळ संख्येला फक्त १ आणि ती स्वतः असे दोनच विभाजक असतात.
16. खालीलपैकी कोणती संख्या मूळ संख्या आहे?
अ८१
ब८३
क८७
ड९१
योग्य उत्तर: ब) ८३

स्पष्टीकरण: ८३ ही मूळ संख्या आहे.
17. दोन मूळ संख्यांचा गुणाकार नेहमी काय असतो?
अमूळ संख्या
बसंयुक्त संख्या
कसम संख्या
डकाहीही नाही
योग्य उत्तर: ब) संयुक्त संख्या

स्पष्टीकरण: दोन मूळ संख्यांचा गुणाकार नेहमी संयुक्त संख्या असतो कारण त्याला किमान ४ विभाजक असतात.
18. खालीलपैकी कोणती संख्या मूळ संख्या नाही?
अ४१
ब४३
क४७
ड४९
योग्य उत्तर: ड) ४९

स्पष्टीकरण: ४९ ला ७ ने भाग जातो (७x७=४९).
19. सर्वात लहान विषम मूळ संख्या कोणती?
अ१
ब२
क३
ड५
योग्य उत्तर: क) ३

स्पष्टीकरण: ३ ही सर्वात लहान विषम मूळ संख्या आहे.
20. १ ते १०० दरम्यान किती मूळ संख्या आहेत ज्यांच्या एकक स्थानी ७ हा अंक आहे?
अ५
ब६
क७
ड८
योग्य उत्तर: ब) ६

स्पष्टीकरण: ७, १७, ३७, ४७, ६७, ९७ अशा एकूण ६ संख्या आहेत.
विषयातील सर्व नोट्स