MahaExam अभ्यास नोट्स

अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

संख्या पद्धतीमध्ये परिमेय संख्यांनंतर अपरिमेय संख्यांचा अभ्यास करणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. स्पर्धा परीक्षांमध्ये यावर आधारित संकल्पनात्मक प्रश्न विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

ज्या संख्यांना p/q या स्वरूपात लिहिता येत नाही (जिथे p आणि q पूर्णांक आहेत आणि q शून्य नाही), त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात. अपरिमेय संख्यांचे दशांश रूप हे 'अनंत आणि अनावर्ती' (Non-terminating and Non-recurring) असते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

अपरिमेय संख्या

ज्या संख्यांचे दशांश रूप कधीही संपत नाही आणि त्यात अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही, त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • अपरिमेय संख्यांचे दशांश रूप अनंत आणि अनावर्ती असते.
  • पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्यांची वर्गमुळे (उदा. √2, √3, √5) नेहमी अपरिमेय असतात.
  • π (पाय) ही एक अपरिमेय संख्या आहे.
  • दोन अपरिमेय संख्यांची बेरीज किंवा गुणाकार परिमेय असू शकतो.
  • परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांची बेरीज किंवा वजाबाकी नेहमी अपरिमेय असते.

महत्त्वाची तथ्ये

  • √4 ही अपरिमेय नाही कारण तिचे उत्तर 2 येते (परिमेय).
  • कोणत्याही परिमेय संख्येला शून्यतर अपरिमेय संख्येने गुणल्यास उत्तर अपरिमेय येते.
  • संख्यारेषेवर प्रत्येक अपरिमेय संख्येसाठी एक निश्चित बिंदू असतो.

उदाहरणे

वर्गमूळ

√2, √3, √7 या अपरिमेय संख्या आहेत कारण त्यांचे वर्गमूळ पूर्णांक किंवा खंडित दशांश येत नाही.

π चे स्वरूप

π ची किंमत 3.14159... अशी अनंत आणि अनावर्ती असल्याने ती अपरिमेय आहे.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

पर्यायातील संख्या पूर्ण वर्ग आहे का ते तपासा (उदा. √9 = 3, ही परिमेय आहे).
π हे चिन्ह दिसल्यास ती अपरिमेय संख्या असते हे लक्षात ठेवा.
दशांश चिन्हा नंतरचे अंक जर पुन्हा पुन्हा येत नसतील तर ती अपरिमेय संख्या असते.

⚠️ सामान्य चुका

22/7 ला अपरिमेय समजणे (22/7 ही परिमेय आहे, तर π अपरिमेय आहे).
√16 सारख्या पूर्ण वर्ग संख्यांना अपरिमेय समजणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. खालीलपैकी कोणती संख्या अपरिमेय आहे?
अ√4
ब√9
क√2
ड√16
योग्य उत्तर: क) √2

स्पष्टीकरण: √2 चे मूल्य निश्चित नाही, म्हणून ती अपरिमेय आहे.
2. π (पाय) ही संख्या कोणत्या प्रकारची आहे?
अपरिमेय
बअपरिमेय
कपूर्णांक
डनैसर्गिक
योग्य उत्तर: ब) अपरिमेय

स्पष्टीकरण: π ही एक अपरिमेय संख्या आहे.
3. खालीलपैकी कोणती संख्या परिमेय आहे?
अ√3
ब√5
क√7
ड√25
योग्य उत्तर: ड) √25

स्पष्टीकरण: √25 = 5, जी एक परिमेय संख्या आहे.
4. अपरिमेय संख्येचे दशांश रूप कसे असते?
अखंडित
बअनंत आवर्ती
कअनंत अनावर्ती
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: क) अनंत अनावर्ती

स्पष्टीकरण: अपरिमेय संख्यांचे दशांश रूप कधीही संपत नाही आणि पुनरावृत्ती होत नाही.
5. √8 ही संख्या कोणती आहे?
अपरिमेय
बअपरिमेय
कपूर्णांक
डसम
योग्य उत्तर: ब) अपरिमेय

स्पष्टीकरण: 8 हा पूर्ण वर्ग नसल्यामुळे √8 अपरिमेय आहे.
6. दोन अपरिमेय संख्यांचा गुणाकार नेहमी काय असतो?
अनेहमी परिमेय
बनेहमी अपरिमेय
कपरिमेय किंवा अपरिमेय
डशून्य
योग्य उत्तर: क) परिमेय किंवा अपरिमेय

स्पष्टीकरण: गुणाकार परिमेय किंवा अपरिमेय दोन्ही असू शकतो (उदा. √2 * √2 = 2).
7. खालीलपैकी कोणती संख्या अपरिमेय नाही?
अ√10
ब√11
क√12
ड√16
योग्य उत्तर: ड) √16

स्पष्टीकरण: √16 = 4, जी परिमेय आहे.
8. 0.1010010001... ही संख्या कोणती आहे?
अपरिमेय
बअपरिमेय
कपूर्णांक
डनैसर्गिक
योग्य उत्तर: ब) अपरिमेय

स्पष्टीकरण: ही संख्या अनंत आणि अनावर्ती आहे.
9. परिमेय आणि अपरिमेय संख्येची बेरीज काय असते?
अनेहमी परिमेय
बनेहमी अपरिमेय
कशून्य
डकाहीही नाही
योग्य उत्तर: ब) नेहमी अपरिमेय

स्पष्टीकरण: परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय.
10. √0.9 ची किंमत काय आहे?
अ0.3
ब0.03
कअपरिमेय
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: क) अपरिमेय

स्पष्टीकरण: 0.9 पूर्ण वर्ग नाही, म्हणून √0.9 अपरिमेय आहे.
11. खालीलपैकी कोणती संख्या अपरिमेय आहे?
अ√1
ब√4
क√6
ड√9
योग्य उत्तर: क) √6

स्पष्टीकरण: 6 हा पूर्ण वर्ग नाही.
12. √2 + √2 चे उत्तर काय आहे?
अ√4
ब2
क2√2
ड4
योग्य उत्तर: क) 2√2

स्पष्टीकरण: 2√2 ही अपरिमेय संख्या आहे.
13. कोणतीही परिमेय संख्या 'p/q' स्वरूपात लिहिता येते, तर अपरिमेय संख्या?
अलिहिता येते
बलिहिता येत नाही
कफक्त दशांश रूपात
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: ब) लिहिता येत नाही

स्पष्टीकरण: अपरिमेय संख्येची व्याख्याच ही आहे की ती p/q स्वरूपात लिहिता येत नाही.
14. √2 ही संख्या संख्यारेषेवर कुठे असते?
अ1 आणि 2 च्या दरम्यान
ब0 आणि 1 च्या दरम्यान
क2 आणि 3 च्या दरम्यान
डऋण बाजूला
योग्य उत्तर: अ) 1 आणि 2 च्या दरम्यान

स्पष्टीकरण: √2 चे मूल्य सुमारे 1.414 असते.
15. खालीलपैकी कोणती संख्या अपरिमेय आहे?
अ3.14
ब22/7
क√5
ड0.5
योग्य उत्तर: क) √5

स्पष्टीकरण: √5 ही अपरिमेय आहे, तर इतर परिमेय आहेत.
16. √144 ही संख्या कोणती आहे?
अपरिमेय
बअपरिमेय
कअपूर्णांक
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: अ) परिमेय

स्पष्टीकरण: √144 = 12, जी परिमेय आहे.
17. अपरिमेय संख्येचा वर्ग केल्यास काय मिळते?
अनेहमी अपरिमेय
बनेहमी परिमेय
कपरिमेय किंवा अपरिमेय
डकाहीही नाही
योग्य उत्तर: क) परिमेय किंवा अपरिमेय

स्पष्टीकरण: √2 चा वर्ग 2 (परिमेय) येतो, पण (√2+1) चा वर्ग अपरिमेय येऊ शकतो.
18. खालीलपैकी कोणती संख्या अपरिमेय आहे?
अ√0.01
ब√0.1
क√0.04
ड√0.09
योग्य उत्तर: ब) √0.1

स्पष्टीकरण: 0.1 पूर्ण वर्ग नाही.
19. √27 चे सोपे रूप काय आहे?
अ3√3
ब9√3
क3√9
ड27
योग्य उत्तर: अ) 3√3

स्पष्टीकरण: √27 = √(9*3) = 3√3, जी अपरिमेय आहे.
20. संख्या पद्धतीत अपरिमेय संख्यांचा समावेश कशात होतो?
अनैसर्गिक संख्या
बपूर्ण संख्या
कवास्तव संख्या
डपूर्णांक
योग्य उत्तर: क) वास्तव संख्या

स्पष्टीकरण: वास्तव संख्या (Real Numbers) म्हणजे परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांचा समूह.
विषयातील सर्व नोट्स