MahaExam अभ्यास नोट्स

गोल (Sphere) - गणितीय संकल्पना आणि सूत्रे | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

गोल (Sphere) - गणितीय संकल्पना आणि सूत्रे

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

भूमितीमध्ये 'गोल' ही एक त्रिमितीय (3D) आकृती आहे. अवकाशातील अशा सर्व बिंदूंचा संच जे एका निश्चित बिंदूपासून (केंद्रबिंदू) समान अंतरावर असतात, त्याला गोल म्हणतात. स्पर्धा परीक्षांमध्ये गोलाचे घनफळ आणि पृष्ठफळ यावर आधारित प्रश्न विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

गोल हा पूर्णपणे गोल असतो. गोलाला कडा किंवा शिरोबिंदू नसतात. गोलाचे मोजमाप करण्यासाठी आपल्याला फक्त त्याच्या त्रिज्येची (r) आवश्यकता असते. अर्धगोल (Hemisphere) हा गोलाचा अर्धा भाग असतो, ज्यामध्ये सपाट पृष्ठभाग देखील असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

त्रिज्या (r)

गोलाच्या केंद्रापासून त्याच्या पृष्ठभागावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर.

व्यास (d)

गोलाच्या केंद्रातून जाणारी आणि पृष्ठभागाला जोडणारी रेषा, जी त्रिज्येच्या दुप्पट असते (d = 2r).

महत्त्वाचे मुद्दे

  • गोलाचे पृष्ठफळ = 4πr²
  • गोलाचे घनफळ = (4/3)πr³
  • अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ = 2πr²
  • अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 3πr²
  • अर्धगोलाचे घनफळ = (2/3)πr³
  • π (पाय) ची किंमत साधारणपणे 22/7 किंवा 3.14 घेतली जाते.

महत्त्वाची तथ्ये

  • गोलाचे घनफळ हे नेहमी घन एककात (cubic units) मोजले जाते.
  • गोलाचे पृष्ठफळ हे नेहमी चौरस एककात (square units) मोजले जाते.
  • एकाच त्रिज्येच्या गोलाचे घनफळ हे अर्धगोलाच्या घनफळाच्या दुप्पट असते.

उदाहरणे

उदाहरण १

7 सेमी त्रिज्या असलेल्या गोलाचे पृष्ठफळ काढा. सूत्र: 4 * (22/7) * 7 * 7 = 616 चौ.सेमी.

उदाहरण २

3 सेमी त्रिज्या असलेल्या गोलाचे घनफळ काढा. सूत्र: (4/3) * (22/7) * 3 * 3 * 3 = 113.14 घन.सेमी.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

परीक्षेत π ची किंमत 22/7 वापरा, जर त्रिज्या 7 च्या पटीत असेल तर गणना सोपी होते.
सूत्र पाठ करताना 'घनफळ' मध्ये r चा घन (r³) आणि 'पृष्ठफळ' मध्ये r चा वर्ग (r²) येतो हे लक्षात ठेवा.
अर्धगोलाच्या एकूण पृष्ठफळाच्या सूत्रात 3πr² वापरताना गोंधळू नका (वक्रपृष्ठफळ 2πr² + तळाचे वर्तुळ πr²).

⚠️ सामान्य चुका

व्यास दिला असताना तो त्रिज्या म्हणून वापरणे (नेहमी व्यासाला 2 ने भागून त्रिज्या काढा).
अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ आणि एकूण पृष्ठफळ यांच्या सूत्रात गल्लत करणे.
एकके (units) लिहिताना चौरस आणि घन मध्ये चूक करणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. 7 सेमी त्रिज्या असलेल्या गोलाचे पृष्ठफळ किती असेल?
अ616 चौ.सेमी
ब154 चौ.सेमी
क308 चौ.सेमी
ड1232 चौ.सेमी
योग्य उत्तर: अ) 616 चौ.सेमी

स्पष्टीकरण: सूत्र: 4πr² = 4 * (22/7) * 7 * 7 = 616.
2. गोलाचे घनफळ काढण्याचे सूत्र कोणते?
अ4πr²
ब(4/3)πr³
क(2/3)πr³
डπr²
योग्य उत्तर: ब) (4/3)πr³

स्पष्टीकरण: गोलाचे घनफळ (4/3)πr³ असते.
3. जर गोलाची त्रिज्या दुप्पट केली, तर त्याचे घनफळ किती पटीने वाढेल?
अ2 पट
ब4 पट
क8 पट
ड16 पट
योग्य उत्तर: क) 8 पट

स्पष्टीकरण: घनफळ r³ च्या प्रमाणात असते, म्हणून 2³ = 8 पट.
4. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ काढण्याचे सूत्र काय आहे?
अ2πr²
ब4πr²
क3πr²
डπr²
योग्य उत्तर: क) 3πr²

स्पष्टीकरण: अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ (2πr²) + पाया (πr²) = 3πr².
5. एका गोलाचा व्यास 14 सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती?
अ28 सेमी
ब7 सेमी
क14 सेमी
ड3.5 सेमी
योग्य उत्तर: ब) 7 सेमी

स्पष्टीकरण: त्रिज्या = व्यास / 2 = 14 / 2 = 7 सेमी.
6. 3 सेमी त्रिज्या असलेल्या गोलाचे घनफळ किती? (π = 3.14)
अ113.04
ब110.5
क100
ड120
योग्य उत्तर: अ) 113.04

स्पष्टीकरण: (4/3) * 3.14 * 3 * 3 * 3 = 4 * 3.14 * 9 = 113.04.
7. गोलाच्या पृष्ठफळाचे एकक काय असते?
असेमी
बचौ.सेमी
कघन.सेमी
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: ब) चौ.सेमी

स्पष्टीकरण: पृष्ठफळ नेहमी चौरस एककात मोजले जाते.
8. एका गोलाचे पृष्ठफळ 616 चौ.सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती?
अ14 सेमी
ब7 सेमी
क21 सेमी
ड10 सेमी
योग्य उत्तर: ब) 7 सेमी

स्पष्टीकरण: 4πr² = 616 => r² = 616 / (4 * 22/7) = 49 => r = 7.
9. अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ काढण्याचे सूत्र कोणते?
अ2πr²
ब4πr²
कπr²
ड3πr²
योग्य उत्तर: अ) 2πr²

स्पष्टीकरण: अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ 2πr² असते.
10. गोलाच्या केंद्रापासून पृष्ठभागापर्यंतच्या अंतराला काय म्हणतात?
अव्यास
बपरिघ
कत्रिज्या
डजीवा
योग्य उत्तर: क) त्रिज्या

स्पष्टीकरण: केंद्रापासून पृष्ठभागापर्यंतचे अंतर म्हणजे त्रिज्या.
11. जर गोलाची त्रिज्या 3 पटीने वाढवली, तर पृष्ठफळ किती पटीने वाढेल?
अ3 पट
ब6 पट
क9 पट
ड27 पट
योग्य उत्तर: क) 9 पट

स्पष्टीकरण: पृष्ठफळ r² च्या प्रमाणात असते, म्हणून 3² = 9 पट.
12. गोलाचे घनफळ कशात मोजले जाते?
अचौरस एकक
बघन एकक
करेषीय एकक
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: ब) घन एकक

स्पष्टीकरण: घनफळ नेहमी घन एककात मोजले जाते.
13. एका अर्धगोलाची त्रिज्या 7 सेमी आहे, तर त्याचे घनफळ किती?
अ718.66
ब616
क308
ड154
योग्य उत्तर: अ) 718.66

स्पष्टीकरण: (2/3) * (22/7) * 7 * 7 * 7 = 718.66.
14. गोलाच्या व्यासाचे सूत्र काय आहे?
अr/2
ब2r
कπr
डr²
योग्य उत्तर: ब) 2r

स्पष्टीकरण: व्यास हा त्रिज्येच्या दुप्पट असतो (d = 2r).
15. ज्या गोलाची त्रिज्या 1 सेमी आहे, त्याचे पृष्ठफळ किती?
अ4π
ब2π
कπ
ड8π
योग्य उत्तर: अ) 4π

स्पष्टीकरण: 4 * π * 1² = 4π.
16. गोलाला किती शिरोबिंदू असतात?
अ0
ब1
क2
डअसंख्य
योग्य उत्तर: अ) 0

स्पष्टीकरण: गोलाला शिरोबिंदू किंवा कडा नसतात.
17. एका गोलाचे घनफळ 36π आहे, तर त्याची त्रिज्या किती?
अ2
ब3
क4
ड6
योग्य उत्तर: ब) 3

स्पष्टीकरण: (4/3)πr³ = 36π => r³ = 27 => r = 3.
18. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ आणि वक्रपृष्ठफळ यांचे गुणोत्तर काय असते?
अ2:3
ब3:2
क1:2
ड2:1
योग्य उत्तर: ब) 3:2

स्पष्टीकरण: 3πr² / 2πr² = 3:2.
19. गोलाच्या पृष्ठफळाचे सूत्र 4πr² आहे, यात 'r' म्हणजे काय?
अव्यास
बपरिघ
कत्रिज्या
डउंची
योग्य उत्तर: क) त्रिज्या

स्पष्टीकरण: r म्हणजे त्रिज्या (radius).
20. खालीलपैकी कोणती आकृती त्रिमितीय (3D) आहे?
अवर्तुळ
बगोल
कचौरस
डत्रिकोण
योग्य उत्तर: ब) गोल

स्पष्टीकरण: गोल ही त्रिमितीय आकृती आहे, बाकी सर्व द्विमितीय आहेत.
विषयातील सर्व नोट्स