MahaExam अभ्यास नोट्स

शंकू (Cone): संकल्पना आणि सूत्रे | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

शंकू (Cone): संकल्पना आणि सूत्रे

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

शंकू ही एक त्रिमितीय (3D) आकृती आहे. दैनंदिन जीवनातील जोकरची टोपी, आईस्क्रीमचा कोन किंवा वाढदिवसाची टोपी ही शंकूची उत्तम उदाहरणे आहेत. स्पर्धा परीक्षांमध्ये शंकूच्या घनफळ आणि पृष्ठफळावर आधारित प्रश्न विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

शंकूचा पाया वर्तुळाकार असतो आणि वरचा भाग एका बिंदूवर (शिरोबिंदू) येऊन मिळतो. शंकूमध्ये त्रिज्या (r), उंची (h) आणि तिरकस उंची (l) असे तीन मुख्य घटक असतात. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, l² = r² + h² हे सूत्र वापरून आपण तिरकस उंची काढू शकतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

त्रिज्या (r)

शंकूच्या वर्तुळाकार पायाच्या केंद्रापासून परिघापर्यंतचे अंतर.

उंची (h)

शंकूच्या शिरोबिंदूपासून पायाच्या केंद्रापर्यंतचे लंब अंतर.

तिरकस उंची (l)

शंकूच्या शिरोबिंदूपासून पायाच्या परिघावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • शंकूचे घनफळ = (1/3) * π * r² * h
  • शंकूचे वक्रपृष्ठफळ = π * r * l
  • शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = π * r * (r + l)
  • तिरकस उंची (l) = वर्गमूळात (r² + h²)

महत्त्वाची तथ्ये

  • π (पाय) ची किंमत साधारणपणे 22/7 किंवा 3.14 घेतली जाते.
  • शंकूच्या घनफळाचे एकक नेहमी घन एकक (उदा. सेमी³) असते.
  • पृष्ठफळाचे एकक नेहमी चौरस एकक (उदा. सेमी²) असते.

उदाहरणे

उदाहरण १

एका शंकूची त्रिज्या ७ सेमी आणि उंची २४ सेमी आहे, तर त्याची तिरकस उंची किती? उत्तर: l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = २५ सेमी.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

प्रश्न सोडवताना त्रिज्या आणि उंचीची एकके समान आहेत का ते तपासा.
पायथागोरसचे त्रिक (उदा. 7, 24, 25) लक्षात ठेवल्यास वेळ वाचतो.
सूत्रातील 1/3 विसरू नका, कारण अनेकदा विद्यार्थी चुकून दंडगोलाचे सूत्र वापरतात.

⚠️ सामान्य चुका

तिरकस उंची (l) ऐवजी सरळ उंची (h) वापरणे.
घनफळ आणि पृष्ठफळाच्या सूत्रात गल्लत करणे.
त्रिज्या (r) ऐवजी व्यास (d) थेट सूत्रात वापरणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. शंकूच्या घनफळाचे सूत्र कोणते?
अπrh
ब2πrh
क(1/3)πr²h
डπr(r+l)
योग्य उत्तर: क) (1/3)πr²h

स्पष्टीकरण: शंकूचे घनफळ (1/3) * π * r² * h असते.
2. जर शंकूची त्रिज्या ७ सेमी आणि तिरकस उंची १० सेमी असेल, तर वक्रपृष्ठफळ किती? (π = 22/7)
अ220
ब440
क154
ड308
योग्य उत्तर: अ) 220

स्पष्टीकरण: वक्रपृष्ठफळ = πrl = (22/7) * 7 * 10 = 220 सेमी².
3. शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र काय?
अ2πr
बπr²
कπr
डπr²h
योग्य उत्तर: ब) πr²

स्पष्टीकरण: शंकूचा पाया वर्तुळाकार असतो, म्हणून त्याचे क्षेत्रफळ πr² असते.
4. एका शंकूची उंची १२ सेमी आणि त्रिज्या ५ सेमी आहे, तर तिरकस उंची किती?
अ13 सेमी
ब17 सेमी
क7 सेमी
ड15 सेमी
योग्य उत्तर: अ) 13 सेमी

स्पष्टीकरण: l = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 सेमी.
5. शंकूच्या एकूण पृष्ठफळाचे सूत्र कोणते?
अπrl
बπr(r+l)
क2πr(r+h)
डπr²h
योग्य उत्तर: ब) πr(r+l)

स्पष्टीकरण: एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + पायाचे क्षेत्रफळ = πrl + πr² = πr(l+r).
6. जर शंकूची त्रिज्या दुप्पट केली आणि उंची कायम ठेवली, तर घनफळ किती पटीने वाढेल?
अ2 पट
ब4 पट
क8 पट
डबदलणार नाही
योग्य उत्तर: ब) 4 पट

स्पष्टीकरण: घनफळ r² च्या प्रमाणात असते, म्हणून (2r)² = 4r², म्हणजेच ४ पट.
7. शंकूच्या शिरोबिंदूपासून पायाच्या केंद्रापर्यंतच्या अंतराला काय म्हणतात?
अतिरकस उंची
बत्रिज्या
कउंची
डपरिघ
योग्य उत्तर: क) उंची

स्पष्टीकरण: याला शंकूची लंब उंची (h) म्हणतात.
8. एका शंकूचे घनफळ १०० सेमी³ आहे. जर त्याची उंची तिप्पट केली, तर नवीन घनफळ किती असेल?
अ100 सेमी³
ब200 सेमी³
क300 सेमी³
ड400 सेमी³
योग्य उत्तर: क) 300 सेमी³

स्पष्टीकरण: घनफळ उंचीच्या थेट प्रमाणात असते, म्हणून 100 * 3 = 300 सेमी³.
9. शंकूच्या आकाराच्या भांड्यात किती पाणी मावेल हे काढण्यासाठी काय शोधावे लागेल?
अवक्रपृष्ठफळ
बएकूण पृष्ठफळ
कघनफळ
डपरिघ
योग्य उत्तर: क) घनफळ

स्पष्टीकरण: भांड्याची धारकता म्हणजे त्याचे घनफळ होय.
10. जर शंकूची त्रिज्या ३ सेमी आणि उंची ४ सेमी असेल, तर त्याचे घनफळ किती? (π = 3.14)
अ37.68
ब12.56
क25.12
ड50.24
योग्य उत्तर: अ) 37.68

स्पष्टीकरण: V = (1/3) * 3.14 * 3² * 4 = 3.14 * 3 * 4 = 37.68 सेमी³.
11. शंकूच्या तिरकस उंचीचा (l) संबंध त्रिज्या (r) आणि उंची (h) शी कसा असतो?
अl = r + h
बl² = r² + h²
कl = r² + h²
डl² = r + h
योग्य उत्तर: ब) l² = r² + h²

स्पष्टीकरण: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार l² = r² + h².
12. एका शंकूचा व्यास १४ सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती?
अ28 सेमी
ब7 सेमी
क14 सेमी
ड3.5 सेमी
योग्य उत्तर: ब) 7 सेमी

स्पष्टीकरण: त्रिज्या = व्यास / 2 = 14 / 2 = 7 सेमी.
13. शंकूच्या वक्रपृष्ठफळाचे एकक काय असते?
असेमी
बसेमी²
कसेमी³
डसेमी⁴
योग्य उत्तर: ब) सेमी²

स्पष्टीकरण: क्षेत्रफळ नेहमी चौरस एककात मोजले जाते.
14. जर शंकूची उंची ० असेल, तर तो काय बनेल?
अदंडगोल
बवर्तुळ
कगोलाकार
डकाहीही नाही
योग्य उत्तर: ब) वर्तुळ

स्पष्टीकरण: उंची नसल्यास तो केवळ एक सपाट वर्तुळ उरेल.
15. शंकूच्या आकाराच्या टोपीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी कोणते सूत्र वापरावे?
अπr²
बπrl
क2πrh
ड4πr²
योग्य उत्तर: ब) πrl

स्पष्टीकरण: टोपीचा खालचा भाग उघडा असतो, म्हणून वक्रपृष्ठफळ (πrl) वापरतात.
16. एका शंकूची त्रिज्या ६ सेमी आणि उंची ८ सेमी आहे, तर तिरकस उंची किती?
अ10 सेमी
ब14 सेमी
क12 सेमी
ड9 सेमी
योग्य उत्तर: अ) 10 सेमी

स्पष्टीकरण: l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी.
17. शंकूच्या घनफळाचे सूत्र वापरताना 'π' ची किंमत काय घेता येईल?
अ3.14
ब22/7
कदोन्ही अ आणि ब
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: क) दोन्ही अ आणि ब

स्पष्टीकरण: गणिताच्या सोयीनुसार दोन्ही किमती वापरता येतात.
18. शंकूच्या पायाचा आकार कसा असतो?
अचौकोनी
बत्रिकोणी
कवर्तुळाकार
डपंचकोनी
योग्य उत्तर: क) वर्तुळाकार

स्पष्टीकरण: शंकूचा पाया नेहमी वर्तुळाकार असतो.
19. जर शंकूची त्रिज्या आणि उंची दोन्ही दुप्पट केल्या, तर घनफळ किती पटीने वाढेल?
अ2 पट
ब4 पट
क8 पट
ड16 पट
योग्य उत्तर: क) 8 पट

स्पष्टीकरण: V = (1/3)π(2r)²(2h) = (1/3)π(4r²)(2h) = 8 * मूळ घनफळ.
20. शंकूच्या एकूण पृष्ठफळात कोणत्या भागाचा समावेश होतो?
अफक्त वक्रपृष्ठफळ
बफक्त पाया
कवक्रपृष्ठफळ आणि पाया
डयापैकी नाही
योग्य उत्तर: क) वक्रपृष्ठफळ आणि पाया

स्पष्टीकरण: एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + पायाचे क्षेत्रफळ.
विषयातील सर्व नोट्स