MahaExam अभ्यास नोट्स

त्रिकोण: मूलभूत संकल्पना आणि गुणधर्म | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

त्रिकोण: मूलभूत संकल्पना आणि गुणधर्म

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

त्रिकोण ही भूमितीतील सर्वात महत्त्वाची आकृती आहे. तीन नैक रेषीय बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडांनी तयार होणाऱ्या बंदिस्त आकृतीला 'त्रिकोण' म्हणतात. स्पर्धा परीक्षांमध्ये त्रिकोणाचे प्रकार, क्षेत्रफळ आणि परिमिती यावर आधारित प्रश्न विचारले जातात.

सविस्तर माहिती

त्रिकोणाला तीन बाजू, तीन कोन आणि तीन शिरोबिंदू असतात. त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी १८० अंश असते. त्रिकोणाचे वर्गीकरण बाजूंच्या लांबीनुसार आणि कोनांच्या मापांनुसार केले जाते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

समभुज त्रिकोण

ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात.

समद्विभुज त्रिकोण

ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात.

विषमभुज त्रिकोण

ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू वेगवेगळ्या लांबीच्या असतात.

काटकोन त्रिकोण

ज्या त्रिकोणाचा एक कोन ९० अंशाचा असतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज १८० अंश असते.
  • त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा नेहमी जास्त असते.
  • काटकोन त्रिकोणात पायथागोरसचा सिद्धांत लागू होतो: कर्ण² = पाया² + उंची².
  • त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = १/२ × पाया × उंची.

महत्त्वाची तथ्ये

  • समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन ६० अंशाचा असतो.
  • त्रिकोणाच्या बाह्य कोनाचे माप हे त्याच्या दुरस्थ अंतरकोनांच्या बेरजेइतके असते.
  • पायथागोरसच्या त्रिकुटात (३, ४, ५) हे सर्वात प्रसिद्ध उदाहरण आहे.

उदाहरणे

क्षेत्रफळ काढणे

जर त्रिकोणाचा पाया १० सेमी आणि उंची ६ सेमी असेल, तर क्षेत्रफळ = १/२ × १० × ६ = ३० चौ.सेमी.

कोन काढणे

त्रिकोणाचे दोन कोन ६० आणि ५० अंश असतील, तर तिसरा कोन = १८० - (६०+५०) = ७० अंश.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

पायथागोरसची त्रिकुटे (उदा. ३,४,५; ५,१२,१३) पाठ ठेवा, यामुळे वेळ वाचतो.
त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज १८० असते हे सूत्र नेहमी लक्षात ठेवा.
प्रश्न सोडवताना आकृती काढल्यास उत्तर लवकर मिळते.

⚠️ सामान्य चुका

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज ३६० समजणे (जी चुकीची आहे).
क्षेत्रफळाच्या सूत्रात १/२ विसरणे.
कर्ण ओळखताना चूक करणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज किती असते?
अ९० अंश
ब१८० अंश
क२७० अंश
ड३६० अंश
योग्य उत्तर: ब) १८० अंश

स्पष्टीकरण: त्रिकोणाच्या गुणधर्मानुसार तिन्ही कोनांची बेरीज १८० अंश असते.
2. ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान असतात, त्याला काय म्हणतात?
असमद्विभुज
बसमभुज
कविषमभुज
डकाटकोन
योग्य उत्तर: ब) समभुज

स्पष्टीकरण: ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान असतात, त्याला समभुज त्रिकोण म्हणतात.
3. काटकोन त्रिकोणात पायथागोरसचा सिद्धांत कोणता?
अकर्ण² = पाया² + उंची²
बकर्ण = पाया + उंची
कपाया² = कर्ण² + उंची²
डउंची² = कर्ण² + पाया²
योग्य उत्तर: अ) कर्ण² = पाया² + उंची²

स्पष्टीकरण: पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार कर्ण² = पाया² + उंची².
4. एका त्रिकोणाचा पाया ८ सेमी आणि उंची ५ सेमी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती?
अ२० चौ.सेमी
ब४० चौ.सेमी
क१३ चौ.सेमी
ड१५ चौ.सेमी
योग्य उत्तर: अ) २० चौ.सेमी

स्पष्टीकरण: क्षेत्रफळ = १/२ × ८ × ५ = २० चौ.सेमी.
5. समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन किती अंशाचा असतो?
अ४५
ब९०
क६०
ड१२०
योग्य उत्तर: क) ६०

स्पष्टीकरण: समभुज त्रिकोणाचे तिन्ही कोन समान असतात, म्हणून १८०/३ = ६० अंश.
6. त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा कशी असते?
अकमी
बजास्त
कसमान
डदुप्पट
योग्य उत्तर: ब) जास्त

स्पष्टीकरण: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा नेहमी जास्त असते.
7. जर त्रिकोणाचे दोन कोन ४० आणि ६० अंश असतील, तर तिसरा कोन किती?
अ८०
ब९०
क१००
ड७०
योग्य उत्तर: अ) ८०

स्पष्टीकरण: तिसरा कोन = १८० - (४०+६०) = ८० अंश.
8. खालीलपैकी कोणते पायथागोरसचे त्रिकूट आहे?
अ१, २, ३
ब३, ४, ५
क२, ३, ४
ड४, ५, ६
योग्य उत्तर: ब) ३, ४, ५

स्पष्टीकरण: ३² + ४² = ९ + १६ = २५ = ५².
9. ज्या त्रिकोणाचा एक कोन ९० अंशाचा असतो, त्याला काय म्हणतात?
अलघुकोन त्रिकोण
बविशालकोन त्रिकोण
ककाटकोन त्रिकोण
डसमभुज त्रिकोण
योग्य उत्तर: क) काटकोन त्रिकोण

स्पष्टीकरण: ९० अंशाचा कोन असलेल्या त्रिकोणाला काटकोन त्रिकोण म्हणतात.
10. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र कोणते?
अपाया × उंची
ब१/२ × पाया × उंची
क२ × पाया × उंची
डपाया + उंची
योग्य उत्तर: ब) १/२ × पाया × उंची

स्पष्टीकरण: त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = १/२ × पाया × उंची.
11. ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान असतात, त्याला काय म्हणतात?
असमभुज
बसमद्विभुज
कविषमभुज
डकाटकोन
योग्य उत्तर: ब) समद्विभुज

स्पष्टीकरण: दोन बाजू समान असल्यास तो समद्विभुज त्रिकोण असतो.
12. त्रिकोणाच्या बाह्य कोनाचे माप किती असते?
अदोन दुरस्थ अंतरकोनांच्या बेरजेइतके
बदोन दुरस्थ अंतरकोनांच्या फरकाइतके
कतिन्ही कोनांच्या बेरजेइतके
डकाहीच नाही
योग्य उत्तर: अ) दोन दुरस्थ अंतरकोनांच्या बेरजेइतके

स्पष्टीकरण: बाह्य कोनाचे प्रमेय: बाह्य कोन = दुरस्थ अंतरकोनांची बेरीज.
13. एका त्रिकोणाचा पाया १२ सेमी आणि उंची १० सेमी आहे, तर क्षेत्रफळ किती?
अ१२०
ब६०
क२२
ड१००
योग्य उत्तर: ब) ६०

स्पष्टीकरण: १/२ × १२ × १० = ६०.
14. ज्या त्रिकोणाचे तिन्ही कोन ९० अंशापेक्षा कमी असतात, त्याला काय म्हणतात?
अलघुकोन त्रिकोण
बविशालकोन त्रिकोण
ककाटकोन त्रिकोण
डसमभुज त्रिकोण
योग्य उत्तर: अ) लघुकोन त्रिकोण

स्पष्टीकरण: सर्व कोन ९० पेक्षा कमी असल्यास तो लघुकोन त्रिकोण असतो.
15. त्रिकोणाला किती शिरोबिंदू असतात?
अ२
ब३
क४
ड५
योग्य उत्तर: ब) ३

स्पष्टीकरण: त्रिकोणाला तीन बाजू आणि तीन शिरोबिंदू असतात.
16. जर त्रिकोणाच्या बाजू ५, १२, १३ असतील, तर तो कोणता त्रिकोण आहे?
असमभुज
बसमद्विभुज
ककाटकोन
डविषमभुज
योग्य उत्तर: क) काटकोन

स्पष्टीकरण: ५² + १२² = २५ + १४४ = १६९ = १३². हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.
17. त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंच्या लांबीची बेरीज म्हणजे काय?
अक्षेत्रफळ
बपरिमिती
ककर्ण
डउंची
योग्य उत्तर: ब) परिमिती

स्पष्टीकरण: बाजूंच्या लांबीची बेरीज म्हणजे परिमिती होय.
18. एका त्रिकोणाची परिमिती ३० सेमी आहे आणि दोन बाजू १० आणि ८ सेमी आहेत, तर तिसरी बाजू किती?
अ१२
ब१०
क८
ड१५
योग्य उत्तर: अ) १२

स्पष्टीकरण: तिसरी बाजू = ३० - (१०+८) = १२ सेमी.
19. विशालकोन त्रिकोणात किती कोन विशालकोन असतात?
अ३
ब२
क१
ड०
योग्य उत्तर: क) १

स्पष्टीकरण: त्रिकोणात फक्त एकच कोन ९० पेक्षा जास्त असू शकतो.
20. त्रिकोणाच्या मध्यगा ज्या बिंदूत मिळतात, त्याला काय म्हणतात?
अपरिकेंद्र
बसंपात बिंदू
कअंतर्केंद्र
डलंबसंपात बिंदू
योग्य उत्तर: ब) संपात बिंदू

स्पष्टीकरण: त्रिकोणाच्या मध्यगांच्या संपात बिंदूला 'मध्यगा संपात बिंदू' (Centroid) म्हणतात.