MahaExam अभ्यास नोट्स

9 ची विभाज्यता कसोटी (Divisibility Rule of 9) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

9 ची विभाज्यता कसोटी (Divisibility Rule of 9)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

स्पर्धा परीक्षांमध्ये संख्यांच्या विभाज्यतेवर आधारित प्रश्न विचारले जातात. ९ ची कसोटी ही एक अत्यंत महत्त्वाची आणि सोपी पद्धत आहे, ज्याद्वारे एखादी संख्या ९ ने पूर्ण भागली जाते की नाही, हे काही सेकंदात ओळखता येते.

सविस्तर माहिती

९ ची विभाज्यता कसोटी सांगते की, जर दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला ९ ने पूर्ण भाग जात असेल, तर त्या संपूर्ण संख्येला ९ ने पूर्ण भाग जातो. ही पद्धत ३ च्या कसोटीसारखीच आहे, फरक फक्त इतकाच की येथे बेरजेला ९ ने भाग जाणे आवश्यक आहे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

विभाज्यता कसोटी

एखाद्या संख्येला प्रत्यक्ष भागाकार न करता, ती संख्या विशिष्ट संख्येने विभाज्य आहे की नाही हे तपासण्याची पद्धत.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज करा.
  • जर बेरजेला ९ ने भाग गेला, तर मूळ संख्येलाही ९ ने भाग जातो.
  • ही कसोटी मोठ्या संख्यांसाठी अत्यंत उपयुक्त आहे.
  • जर अंकांची बेरीज ९ च्या पटीत (९, १८, २७, ३६...) असेल, तर ती संख्या ९ ने विभाज्य असते.

महत्त्वाची तथ्ये

  • ९ ची कसोटी ३ च्या कसोटीशी संबंधित आहे, परंतु ३ ने भाग जाणाऱ्या प्रत्येक संख्येला ९ ने भाग जाईलच असे नाही.
  • ९ ने भाग जाणाऱ्या सर्व संख्यांना ३ ने नेहमी भाग जातो.
  • शून्याला कोणत्याही संख्येने भागल्यास बाकी शून्य येते, पण ९ ने भागण्याची कसोटी नैसर्गिक संख्यांसाठी वापरली जाते.

उदाहरणे

उदाहरण १: ७२९

७ + २ + ९ = १८. १८ ला ९ ने भाग जातो (९ x २ = १८), म्हणून ७२९ ला ९ ने पूर्ण भाग जातो.

उदाहरण २: ४५६

४ + ५ + ६ = १५. १५ ला ९ ने भाग जात नाही, म्हणून ४५६ ला ९ ने पूर्ण भाग जात नाही.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

परीक्षेत वेळ वाचवण्यासाठी अंकांची बेरीज करताना ९ येणाऱ्या जोड्या वगळून बेरीज करा (उदा. ७२९ मध्ये ७+२=९, उरला ९, म्हणून भाग जातो).
मोठ्या संख्या असल्यास पुन्हा बेरजेची बेरीज करा (उदा. १८ -> १+८=९).
पर्यायातील संख्यांची बेरीज करून ९ ची कसोटी तपासा.

⚠️ सामान्य चुका

अंकांची बेरीज करताना चूक करणे.
३ च्या कसोटीत आणि ९ च्या कसोटीत गोंधळ होणे.
बेरजेला ९ ने भाग जातो की नाही हे तपासताना पाढे विसरणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. खालीलपैकी कोणत्या संख्येला ९ ने पूर्ण भाग जातो?
अ१२३
ब४५९
क७८४
ड५६२
योग्य उत्तर: ब) ४५९

स्पष्टीकरण: ४+५+९ = १८. १८ ला ९ ने भाग जातो, म्हणून ४५९ ला ९ ने भाग जातो.
2. संख्या ८१७२ ला ९ ने भाग जातो का?
अहो
बनाही
कसांगता येत नाही
डफक्त ३ ने भाग जातो
योग्य उत्तर: ब) नाही

स्पष्टीकरण: ८+१+७+२ = १८. १८ ला ९ ने भाग जातो, म्हणून ८१७२ ला ९ ने भाग जातो. (पर्याय १ बरोबर आहे).
3. जर ५४x२ ही संख्या ९ ने विभाज्य असेल, तर x ची किंमत काय असेल?
अ५
ब६
क७
ड८
योग्य उत्तर: क) ७

स्पष्टीकरण: ५+४+x+२ = ११+x. ११ मध्ये ७ मिळवल्यास १८ होतात, जे ९ च्या पटीत आहेत.
4. ९ ने भाग जाणाऱ्या संख्येच्या अंकांची बेरीज नेहमी कशाच्या पटीत असते?
अ३
ब६
क९
ड१२
योग्य उत्तर: क) ९

स्पष्टीकरण: ९ च्या कसोटीनुसार अंकांची बेरीज ९ च्या पटीत असावी लागते.
5. खालीलपैकी कोणती संख्या ९ ने विभाज्य नाही?
अ९९९
ब८१
क१२६
ड१४५
योग्य उत्तर: ड) १४५

स्पष्टीकरण: १+४+५ = १०. १० ला ९ ने भाग जात नाही.
6. संख्या २३४५६७ ला ९ ने भाग जातो का?
अहो
बनाही
कफक्त ३ ने
डकाही सांगता येत नाही
योग्य उत्तर: ब) नाही

स्पष्टीकरण: २+३+४+५+६+७ = २७. २७ ला ९ ने भाग जातो.
7. ९ ने भाग जाणाऱ्या सर्वात लहान ३ अंकी संख्येची बेरीज किती असते?
अ९
ब१८
क२७
ड३६
योग्य उत्तर: अ) ९

स्पष्टीकरण: सर्वात लहान ३ अंकी संख्या १०८ आहे. १+०+८ = ९.
8. जर एखाद्या संख्येला ९ ने भाग जात असेल, तर त्या संख्येला नक्कीच कशाने भाग जातो?
अफक्त २ ने
बफक्त ५ ने
क३ ने
ड७ ने
योग्य उत्तर: क) ३ ने

स्पष्टीकरण: ९ चे अवयव १, ३, ९ आहेत, म्हणून ३ ने भाग जातोच.
9. संख्या ७७७७ ला ९ ने भागण्यासाठी किती मिळवावे लागतील?
अ१
ब२
क३
ड४
योग्य उत्तर: ब) २

स्पष्टीकरण: ७+७+७+७ = २८. २८ नंतरची ९ ची पट २७ आहे, पण २८+२=३०, ३०+६=३६. २८ मध्ये ८ मिळवल्यास ३६ होतात.
10. खालीलपैकी कोणती संख्या ९ ने विभाज्य आहे?
अ११११
ब२२२२
क३३३३
ड४४४४
योग्य उत्तर: क) ३३३३

स्पष्टीकरण: ३+३+३+३ = १२ (नाही), २+२+२+२ = ८ (नाही), १+१+१+१ = ४ (नाही). वरीलपैकी कोणतीही नाही (प्रश्न दुरुस्त: ३३३३ ला ३ ने भाग जातो, ९ ने नाही).
11. ९ ने भाग जाणाऱ्या संख्येच्या अंकांची बेरीज १८ असेल, तर ती संख्या कोणती असू शकते?
अ९९
ब८९
क७९
ड६९
योग्य उत्तर: अ) ९९

स्पष्टीकरण: ९+९ = १८.
12. संख्या ९९९९९ ला ९ ने भागल्यास बाकी किती उरेल?
अ०
ब१
क९
ड८
योग्य उत्तर: अ) ०

स्पष्टीकरण: अंकांची बेरीज ४५ आहे, ४५ ला ९ ने पूर्ण भाग जातो.
13. x च्या कोणत्या किमतीसाठी ५x४ ही संख्या ९ ने विभाज्य असेल?
अ०
ब९
कदोन्ही (० आणि ९)
डकोणतीही नाही
योग्य उत्तर: क) दोन्ही (० आणि ९)

स्पष्टीकरण: ५+०+४=९ आणि ५+९+४=१८. दोन्ही ९ ने विभाज्य आहेत.
14. खालीलपैकी कोणती संख्या ९ ने विभाज्य आहे?
अ५६७८
ब९८७६
क१२३४
ड५४३६
योग्य उत्तर: ड) ५४३६

स्पष्टीकरण: ५+४+३+६ = १८. १८ ला ९ ने भाग जातो.
15. ९ ची कसोटी वापरून खालीलपैकी कोणती संख्या ९ ने भागली जाते?
अ१०८
ब१०९
क११०
ड१११
योग्य उत्तर: अ) १०८

स्पष्टीकरण: १+०+८ = ९.
16. एका संख्येच्या अंकांची बेरीज २७ आहे, तर त्या संख्येला कशाने भाग जाईल?
अफक्त ३ ने
बफक्त ९ ने
क३ आणि ९ दोन्हीने
डकोणत्याही नाही
योग्य उत्तर: क) ३ आणि ९ दोन्हीने

स्पष्टीकरण: २७ ला ३ आणि ९ दोन्हीने भाग जातो.
17. ९ ने भाग जाणाऱ्या ४ अंकी सर्वात लहान संख्या कोणती?
अ१०००
ब१००८
क१०१७
ड१०२६
योग्य उत्तर: ब) १००८

स्पष्टीकरण: १+०+०+८ = ९.
18. संख्या ७२५४ ला ९ ने भाग जातो का?
अहो
बनाही
कफक्त २ ने
डफक्त ३ ने
योग्य उत्तर: अ) हो

स्पष्टीकरण: ७+२+५+४ = १८. १८ ला ९ ने भाग जातो.
19. ९ ने भाग जाणाऱ्या संख्येला ९ ने भागल्यावर येणारा भागाकार कसा असतो?
अनेहमी विषम
बनेहमी सम
ककाहीही असू शकतो
डनेहमी मूळ संख्या
योग्य उत्तर: क) काहीही असू शकतो

स्पष्टीकरण: भागाकार सम किंवा विषम दोन्ही असू शकतो (उदा. १८/९=२, २७/९=३).
20. खालीलपैकी कोणती संख्या ९ ने विभाज्य नाही?
अ९०९
ब९१८
क९२७
ड९३५
योग्य उत्तर: ड) ९३५

स्पष्टीकरण: ९+३+५ = १७. १७ ला ९ ने भाग जात नाही.