MahaExam अभ्यास नोट्स

बीजीय साधीकरण (Algebraic Simplification) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

बीजीय साधीकरण (Algebraic Simplification)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

बीजीय साधीकरण म्हणजे दिलेल्या बीजीय राशींना (Algebraic Expressions) सूत्रे आणि नियमांचा वापर करून सोप्या रूपात मांडणे. स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळेची बचत करण्यासाठी हे घटक अत्यंत महत्त्वाचे आहेत.

सविस्तर माहिती

बीजीय साधीकरणामध्ये प्रामुख्याने 'कंचेभागुबेव' (BODMAS) नियम आणि बीजीय नित्यसमानता (Algebraic Identities) यांचा वापर केला जातो. जेव्हा आपण पदावली सोडवतो, तेव्हा कंसातील क्रिया आधी करून नंतर घातांक, गुणाकार, भागाकार, बेरीज आणि वजाबाकी या क्रमाने सोडवणे आवश्यक असते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

चल (Variable)

ज्या राशीची किंमत बदलू शकते, त्याला चल म्हणतात (उदा. x, y, z).

नित्यसमानता (Identity)

अशी समानता जी चलाच्या सर्व किमतींसाठी सत्य असते (उदा. (a+b)² = a² + 2ab + b²).

महत्त्वाचे मुद्दे

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a-b)² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = (a+b)(a-b)
  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • BODMAS नियमाचे पालन करणे अनिवार्य आहे.

महत्त्वाची तथ्ये

  • स्पर्धा परीक्षेत 90% प्रश्न नित्यसमानतेवर आधारित असतात.
  • गुणाकार आणि भागाकार करताना चिन्हांचे नियम (उदा. - × - = +) लक्षात ठेवावेत.

उदाहरणे

नित्यसमानतेचा वापर

99² ची किंमत काढण्यासाठी (100-1)² हे सूत्र वापरा: 10000 - 200 + 1 = 9801.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

1 ते 30 पर्यंतचे वर्ग आणि 1 ते 20 पर्यंतचे घन तोंडपाठ ठेवा.
प्रश्न सोडवताना पर्यायांचा वापर करून पडताळणी करा.

⚠️ सामान्य चुका

चिन्हांच्या चुकीच्या वापरामुळे उत्तर चुकणे.
BODMAS नियमाचा क्रम न पाळणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. जर x + y = 10 आणि xy = 21, तर x² + y² ची किंमत किती?
अ58
ब60
क62
ड64
योग्य उत्तर: अ) 58

स्पष्टीकरण: x² + y² = (x+y)² - 2xy = 10² - 2(21) = 100 - 42 = 58.
2. 102² - 98² ची किंमत किती?
अ400
ब800
क600
ड1000
योग्य उत्तर: ब) 800

स्पष्टीकरण: a² - b² = (a+b)(a-b) = (102+98)(102-98) = 200 * 4 = 800.
3. (a+b)² - (a-b)² = ?
अ2ab
ब4ab
क2a² + 2b²
ड0
योग्य उत्तर: ब) 4ab

स्पष्टीकरण: (a²+2ab+b²) - (a²-2ab+b²) = 4ab.
4. जर x - 1/x = 5, तर x² + 1/x² ची किंमत किती?
अ23
ब25
क27
ड29
योग्य उत्तर: क) 27

स्पष्टीकरण: x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2 = 5² + 2 = 27.
5. 0.5 * 0.5 + 0.5 / 5 = ?
अ0.35
ब0.25
क0.55
ड0.45
योग्य उत्तर: अ) 0.35

स्पष्टीकरण: 0.25 + 0.1 = 0.35.
6. x³ - y³ चे अवयव कोणते?
अ(x-y)(x²+xy+y²)
ब(x-y)(x²-xy+y²)
क(x+y)(x²+xy+y²)
ड(x-y)(x²+2xy+y²)
योग्य उत्तर: अ) (x-y)(x²+xy+y²)

स्पष्टीकरण: हे थेट सूत्र आहे: x³ - y³ = (x-y)(x²+xy+y²).
7. जर 2x + 3 = 15, तर x ची किंमत किती?
अ5
ब6
क7
ड8
योग्य उत्तर: ब) 6

स्पष्टीकरण: 2x = 15 - 3 = 12, म्हणून x = 6.
8. 1000 - 10² = ?
अ900
ब990
क90
ड999
योग्य उत्तर: अ) 900

स्पष्टीकरण: 1000 - 100 = 900.
9. जर x = 3, तर 2x² - 5x + 4 ची किंमत किती?
अ7
ब10
क13
ड15
योग्य उत्तर: अ) 7

स्पष्टीकरण: 2(9) - 5(3) + 4 = 18 - 15 + 4 = 7.
10. खालीलपैकी कोणती नित्यसमानता चुकीची आहे?
अ(a+b)² = a²+2ab+b²
ब(a-b)² = a²-2ab+b²
कa²-b² = (a-b)(a-b)
ड(a+b)(a-b) = a²-b²
योग्य उत्तर: क) a²-b² = (a-b)(a-b)

स्पष्टीकरण: a²-b² = (a+b)(a-b) असते, (a-b)(a-b) नाही.
11. 500 चा 20% अधिक 100 चा 10% = ?
अ100
ब110
क120
ड130
योग्य उत्तर: ब) 110

स्पष्टीकरण: 100 + 10 = 110.
12. जर x/2 = 10, तर x ची किंमत किती?
अ5
ब10
क20
ड40
योग्य उत्तर: क) 20

स्पष्टीकरण: x = 10 * 2 = 20.
13. 15² - 5² = ?
अ100
ब200
क225
ड250
योग्य उत्तर: ब) 200

स्पष्टीकरण: (15-5)(15+5) = 10 * 20 = 200.
14. x² + 7x + 10 चे अवयव पाडा.
अ(x+2)(x+5)
ब(x-2)(x-5)
क(x+1)(x+10)
ड(x+2)(x-5)
योग्य उत्तर: अ) (x+2)(x+5)

स्पष्टीकरण: गुणाकार 10 आणि बेरीज 7 येणाऱ्या संख्या 2 आणि 5 आहेत.
15. जर 3x = 27, तर x² = ?
अ9
ब27
क81
ड729
योग्य उत्तर: क) 81

स्पष्टीकरण: x = 9, म्हणून x² = 81.
16. 10 * 10 + 10 / 10 - 10 = ?
अ90
ब91
क100
ड101
योग्य उत्तर: ब) 91

स्पष्टीकरण: 100 + 1 - 10 = 91.
17. जर a=2, b=3, तर a³ + b³ = ?
अ25
ब35
क45
ड55
योग्य उत्तर: ब) 35

स्पष्टीकरण: 8 + 27 = 35.
18. x² - 16 चे अवयव कोणते?
अ(x-4)(x-4)
ब(x+4)(x-4)
क(x+8)(x-2)
ड(x-16)(x+1)
योग्य उत्तर: ब) (x+4)(x-4)

स्पष्टीकरण: a² - b² = (a+b)(a-b) नुसार (x+4)(x-4).
19. जर 5x - 10 = 25, तर x = ?
अ5
ब6
क7
ड8
योग्य उत्तर: क) 7

स्पष्टीकरण: 5x = 35, x = 7.
20. 100 चे 50% चे 20% किती?
अ5
ब10
क20
ड50
योग्य उत्तर: ब) 10

स्पष्टीकरण: 100 * 0.5 * 0.2 = 10.
विषयातील सर्व नोट्स