MahaExam अभ्यास नोट्स

बीजगणितीय सूत्रे (Algebraic Identities) | MahaExam

स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स व सराव प्रश्न

MahaExam अभ्यास नोट्स

बीजगणितीय सूत्रे (Algebraic Identities)

महाराष्ट्र सरकारी स्पर्धा परीक्षा अभ्यास नोट्स

परिचय

स्पर्धा परीक्षांमध्ये बीजगणितीय सूत्रांचा वापर करून गणिते कमी वेळेत सोडवणे अत्यंत महत्त्वाचे असते. ही सूत्रे बहुपदींच्या विस्तार आणि अवयव पाडण्यासाठी वापरली जातात.

सविस्तर माहिती

बीजगणितीय सूत्रे म्हणजे अशी समीकरणे जी चलांच्या (variables) कोणत्याही किमतीसाठी सत्य असतात. पोलीस भरती, तलाठी आणि MPSC सारख्या परीक्षांमध्ये या सूत्रांवर आधारित थेट प्रश्न किंवा साधे सरलीकरण विचारले जाते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

चलांक (Variable)

ज्याची किंमत बदलू शकते, त्याला चलांक म्हणतात (उदा. x, y, a, b).

नित्यसमानता (Identity)

असे समीकरण जे चलांच्या सर्व किमतींसाठी सत्य असते.

महत्त्वाचे मुद्दे

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = (a + b)(a - b)
  • (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  • a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

महत्त्वाची तथ्ये

  • वर्ग आणि घन पाठ असल्यास गणिते जलद सुटतात.
  • a² + b² = (a + b)² - 2ab हे सूत्र किमती काढण्यासाठी उपयुक्त आहे.
  • स्पर्धा परीक्षेत (a+b)² आणि (a-b)² च्या फरकावर आधारित प्रश्न वारंवार येतात.

उदाहरणे

उदाहरण १: (x + 5)² चा विस्तार करा

सूत्र (a + b)² = a² + 2ab + b² वापरून: x² + 2(x)(5) + 5² = x² + 10x + 25.

उदाहरण २: 102² ची किंमत काढा

(100 + 2)² = 100² + 2(100)(2) + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404.

🎯 परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

सूत्रांचा सराव करण्यासाठी दररोज किमान ५ उदाहरणे सोडवा.
प्रश्न सोडवताना चिन्हांची (प्लस/मायनस) काळजी घ्या.
वेळ वाचवण्यासाठी १ ते ३० पर्यंतचे वर्ग आणि १ ते १५ पर्यंतचे घन तोंडपाठ ठेवा.

⚠️ सामान्य चुका

(a + b)² ला a² + b² लिहिणे (हे चुकीचे आहे).
उणे चिन्हाच्या सूत्रात (a - b)² मध्ये 2ab ला धन चिन्ह देणे.
कंसाबाहेर उणे चिन्ह असताना आतील चिन्हे न बदलणे.

📝 सराव प्रश्न

20 बहुपर्यायी प्रश्न

1. (a + b)² चे विस्तार रूप काय आहे?
अa² + b²
बa² - 2ab + b²
कa² + 2ab + b²
डa² + ab + b²
योग्य उत्तर: क) a² + 2ab + b²

स्पष्टीकरण: हे मूलभूत सूत्र आहे: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. a² - b² चे अवयव कोणते?
अ(a-b)(a-b)
ब(a+b)(a-b)
क(a+b)(a+b)
डa²-2ab+b²
योग्य उत्तर: ब) (a+b)(a-b)

स्पष्टीकरण: a² - b² = (a + b)(a - b) हे महत्त्वाचे सूत्र आहे.
3. (x - 3)² चा विस्तार काय असेल?
अx² - 6x + 9
बx² + 6x + 9
कx² - 3x + 9
डx² - 6x - 9
योग्य उत्तर: अ) x² - 6x + 9

स्पष्टीकरण: (x - 3)² = x² - 2(x)(3) + 3² = x² - 6x + 9.
4. जर a + b = 5 आणि ab = 6, तर a² + b² = किती?
अ10
ब13
क25
ड36
योग्य उत्तर: ब) 13

स्पष्टीकरण: a² + b² = (a + b)² - 2ab = 5² - 2(6) = 25 - 12 = 13.
5. 101² ची किंमत किती?
अ10101
ब10201
क10001
ड11001
योग्य उत्तर: ब) 10201

स्पष्टीकरण: (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201.
6. (a + b)³ चे सूत्र काय आहे?
अa³ + b³
बa³ + 3a²b + 3ab² + b³
कa³ - 3a²b + 3ab² - b³
डa³ + 3ab + b³
योग्य उत्तर: ब) a³ + 3a²b + 3ab² + b³

स्पष्टीकरण: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
7. a³ + b³ चे अवयव कोणते?
अ(a+b)(a²-ab+b²)
ब(a-b)(a²+ab+b²)
क(a+b)(a²+ab+b²)
ड(a+b)(a²-2ab+b²)
योग्य उत्तर: अ) (a+b)(a²-ab+b²)

स्पष्टीकरण: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
8. जर x - y = 4 आणि xy = 5, तर x² + y² = किती?
अ26
ब16
क21
ड6
योग्य उत्तर: अ) 26

स्पष्टीकरण: x² + y² = (x - y)² + 2xy = 4² + 2(5) = 16 + 10 = 26.
9. 99² ची किंमत किती?
अ9801
ब9901
क9701
ड9899
योग्य उत्तर: अ) 9801

स्पष्टीकरण: (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801.
10. (x + 2)(x - 2) = ?
अx² + 4
बx² - 4
कx² + 2x - 4
डx² - 2x + 4
योग्य उत्तर: ब) x² - 4

स्पष्टीकरण: (a + b)(a - b) = a² - b² म्हणून x² - 2² = x² - 4.
11. a³ - b³ चे सूत्र काय?
अ(a-b)(a²+ab+b²)
ब(a+b)(a²-ab+b²)
क(a-b)(a²-ab+b²)
ड(a-b)(a²+2ab+b²)
योग्य उत्तर: अ) (a-b)(a²+ab+b²)

स्पष्टीकरण: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
12. जर a + b = 10 आणि a - b = 2, तर a² - b² = किती?
अ20
ब12
क8
ड40
योग्य उत्तर: अ) 20

स्पष्टीकरण: a² - b² = (a + b)(a - b) = 10 * 2 = 20.
13. (2x + 3)² = ?
अ4x² + 9
ब4x² + 12x + 9
क2x² + 12x + 9
ड4x² + 6x + 9
योग्य उत्तर: ब) 4x² + 12x + 9

स्पष्टीकरण: (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
14. x² + 8x + 16 हे कोणाचा विस्तार आहे?
अ(x+4)²
ब(x-4)²
क(x+8)²
ड(x+2)²
योग्य उत्तर: अ) (x+4)²

स्पष्टीकरण: x² + 2(x)(4) + 4² = (x + 4)².
15. जर x + 1/x = 3, तर x² + 1/x² = किती?
अ7
ब9
क11
ड5
योग्य उत्तर: अ) 7

स्पष्टीकरण: (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 3² = 9. म्हणून x² + 1/x² = 9 - 2 = 7.
16. (a - b)³ = ?
अa³ - b³
बa³ - 3a²b + 3ab² - b³
कa³ + 3a²b - 3ab² - b³
डa³ - 3a²b - 3ab² + b³
योग्य उत्तर: ब) a³ - 3a²b + 3ab² - b³

स्पष्टीकरण: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
17. 49 * 51 = ?
अ2499
ब2501
क2401
ड2599
योग्य उत्तर: अ) 2499

स्पष्टीकरण: (50 - 1)(50 + 1) = 50² - 1² = 2500 - 1 = 2499.
18. जर a + b = 7 आणि a² + b² = 25, तर ab = किती?
अ12
ब24
क6
ड18
योग्य उत्तर: अ) 12

स्पष्टीकरण: (a+b)² = a²+b²+2ab => 49 = 25 + 2ab => 2ab = 24 => ab = 12.
19. x² - 10x + 25 हे कोणाचा विस्तार आहे?
अ(x-5)²
ब(x+5)²
क(x-10)²
ड(x-25)²
योग्य उत्तर: अ) (x-5)²

स्पष्टीकरण: x² - 2(x)(5) + 5² = (x - 5)².
20. a³ + b³ + c³ - 3abc = ?
अ(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
ब(a+b+c)(a²+b²+c²+ab+bc+ca)
क0
डa³+b³+c³
योग्य उत्तर: अ) (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

स्पष्टीकरण: हे एक महत्त्वाचे बीजगणितीय नित्यसमानता सूत्र आहे.
विषयातील सर्व नोट्स